도함수의 활용과 함수의 증가 조건
19. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3$ 이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$ 의 최댓값을 구하시오. [3점]
이 문항은 다항함수의 증가와 감소 상태를 도함수의 부호와 연결하여 이해하고, 이를 통해 도출된 이차부등식을 절대부등식의 관점에서 해결하는 능력을 평가합니다.
주어진 함수 $f(x)$ 는 최고차항의 계수가 양수($1$)인 삼차함수입니다. 함수의 증가 및 감소 상태를 파악하기 위해 먼저 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다. 다항함수의 미분법을 적용합니다.
어떤 다항함수 $f(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 '증가'하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ge 0$ 이 성립하는 것입니다.
도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a)$ 는 $x^2$ 의 계수가 $3 > 0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수입니다. 이 이차함수의 그래프가 항상 $x$축보다 위쪽에 있거나 접해야 합니다.
이차방정식 $f'(x) = 0$ 즉, $3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a) = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 갖지 않아야 합니다. (실근이 없거나 중근을 가져야 함). 따라서 짝수 판별식을 $\frac{D}{4}$ 라 할 때, $\frac{D}{4} \le 0$ 이어야 합니다.
[짝수 판별식 계산]
$$ \frac{D}{4} = (a)^2 - 3 \cdot \{-(a^2 - 8a)\} $$ $$ \frac{D}{4} = a^2 + 3(a^2 - 8a) $$ $$ \frac{D}{4} = a^2 + 3a^2 - 24a = 4a^2 - 24a $$조건에 따라 $4a^2 - 24a \le 0$ 부등식을 얻습니다.
도출된 $a$ 에 대한 이차부등식을 풉니다.
조건을 만족하는 실수 $a$ 의 범위는 $0 \le a \le 6$ 입니다. 따라서 실수 $a$ 의 최댓값은 $6$ 입니다.
정답 : ③ 6
많은 학생들이 함수가 증가하기 위해서는 도함수가 무조건 양수여야 한다고 생각하여, 판별식 $D < 0$ 으로 계산하는 실수를 범합니다. 하지만 $f'(x) = 0$ 이 되는 점이 유한개 존재하더라도 (예: $y=x^3$ 의 $x=0$ 인 점), 함수는 전체 구간에서 계속 증가합니다.
교정 : 다항함수가 어떤 구간에서 증가하기 위한 필요충분조건은 그 구간에서 $f'(x) \ge 0$ 이며, $f'(x) = 0$ 인 $x$ 값이 구간을 이루지 않아야 합니다. 다항함수는 이를 항상 만족하므로 $f'(x) \ge 0$ 으로 두고 판별식 $D \le 0$ 을 적용해야 합니다.
미분가능한 함수에서 $f'(x) > 0$ 이면 $f(x)$ 가 증가한다는 성질은 평균값 정리 (Mean Value Theorem)를 통해 증명됩니다.
함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$ 에서 미분가능할 때, $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a, b)$ 내에 적어도 하나 존재한다.
증명 전개 :
■ 매개변수 $a$ 에 따른 $f(x)$ 와 $f'(x)$ 의 변화
아래 슬라이더를 통해 $a$ 의 값을 조절해 보세요. 파란색 곡선은 원래 함수 $f(x)$ 이며, 빨간색 곡선은 도함수 $f'(x)$ 입니다. $f'(x)$ 가 x축 아래로 내려가는 구간이 생기면 $f(x)$ 가 감소하는 구간이 발생함을 시각적으로 확인할 수 있습니다.