수능 출제 분석

미분가능성과 연속성을 활용한 정적분의 계산

Q 문제 원문

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌구간 $[0, 1]$ 에서 $f(x) = x$ 이다.

(나) 어떤 상수 $a, b$ 에 대하여 구간 $[0, \infty)$ 에서
$f(x+1) - xf(x) = ax + b$ 이다.

$60 \times \int_{1}^{2} f(x)dx$ 의 값을 구하시오. [4점]

① 90
② 100
③ 110
④ 120
⑤ 130

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 실수 전체의 집합에서 미분가능하다는 조건이 내포하는 '연속성'과 '좌우 미분계수의 일치'를 정확히 파악하여, 미지수를 결정하고 함수식을 추론하는 능력을 평가합니다.

  • 구간에 따라 다르게 정의될 수 있는 함수의 경계점($x=1$)에서 연속성을 적용하여 미지수를 도출하는 능력
  • 경계점에서의 미분계수가 존재해야 함을 이용하여 항등식을 미분하고 조건에 대입하는 능력
  • 구해진 함수식을 바탕으로 특정 구간에서의 정적분 값을 계산하는 대수적 처리 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

연속성을 이용한 상수 $b$ 의 결정

함수 $f(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 실수 전체의 집합에서 연속입니다. 특히 $x=1$ 에서도 연속이어야 합니다. 조건 (가)에 의해 $0 \le x \le 1$ 일 때 $f(x) = x$ 이므로, $x=1$ 에서의 함숫값과 좌극한은 다음과 같습니다.

$$ f(1) = 1 $$

조건 (나)의 항등식 $f(x+1) - xf(x) = ax + b$ 에 $x = 0$ 을 대입하면 $f(1)$ 의 꼴을 만들어낼 수 있습니다.

$$ f(1) - 0 \cdot f(0) = a \cdot 0 + b \implies f(1) = b $$

따라서 $b = 1$ 임을 도출할 수 있습니다.

[참고도 1 : $x=1$ 에서의 연속성 시각화] x축 y축 f(x) = x 1 1 b ≠ 1 인 경우 (불연속) f(1) = b = 1 이어야 연속
Step 2

미분가능성을 이용한 상수 $a$ 의 결정

함수 $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 미분가능하므로 $f'(1)$ 이 존재합니다. 조건 (가)에 의해 $0 < x < 1$ 일 때 $f'(x) = 1$ 이며, 미분가능한 함수이므로 좌미분계수와 일치하는 $f'(1) = 1$ 을 만족해야 합니다.

조건 (나)의 양변을 $x$ 에 대하여 미분합니다. (곱의 미분법과 합성함수 미분법 적용)

$$ \frac{d}{dx} \left\{ f(x+1) - xf(x) \right\} = \frac{d}{dx} (ax + 1) $$ $$ f'(x+1) - \left\{ 1 \cdot f(x) + x \cdot f'(x) \right\} = a $$

위 식에 $x=0$ 을 대입하여 $f'(1)$ 이 포함된 식을 만듭니다.

$$ f'(1) - f(0) - 0 \cdot f'(0) = a $$

$f'(1) = 1$ 이고 조건 (가)에서 $f(0) = 0$ 이므로, $1 - 0 = a$ 즉, $a = 1$ 이 됩니다. 이를 통해 조건 (나)의 식이 $f(x+1) - xf(x) = x + 1$ 임을 확정합니다.

[참고도 2 : $x=1$ 에서의 미분가능성 (접선의 기울기 일치)] 1 기울기 = 1 a ≠ 1 인 경우 (꺾인 점) 우미분계수 = 1 (부드럽게 연결)
Step 3

구간 $[1, 2]$ 에서의 함수 $f(x)$ 추론

우리의 목표는 $\int_{1}^{2} f(x)dx$ 를 구하는 것이므로, $1 \le x \le 2$ 일 때의 $f(x)$ 식을 알아내야 합니다. 완성된 조건 (나)의 식을 이용합니다.

$$ f(x+1) = xf(x) + x + 1 \quad (x \ge 0) $$

여기서 $x$ 의 범위를 $0 \le x \le 1$ 로 제한해 봅시다. 그러면 조건 (가)에 의해 이 구간에서 $f(x) = x$ 이므로 이를 대입할 수 있습니다.

$$ f(x+1) = x \cdot x + x + 1 = x^2 + x + 1 \quad (0 \le x \le 1) $$

이제 $t = x+1$ 로 치환하면, $x = t-1$ 이 되고 $x$ 가 $0 \le x \le 1$ 일 때 $t$ 의 범위는 $1 \le t \le 2$ 가 됩니다.

$$ f(t) = (t-1)^2 + (t-1) + 1 = t^2 - t + 1 \quad (1 \le t \le 2) $$

변수를 다시 $x$ 로 바꾸면, 구간 $[1, 2]$ 에서 $f(x) = x^2 - x + 1$ 임을 찾아냈습니다.

[참고도 3 : 추론된 구간별 함수의 형태] 0 1 2 f(x) = x f(x) = x² - x + 1
Step 4

정적분 계산 및 최종 정답 도출

구해진 함수식을 바탕으로 문제에서 요구하는 정적분 값을 계산합니다.

$$ \int_{1}^{2} f(x)dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x + 1) dx $$ $$ = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{1}^{2} $$ $$ = \left( \frac{8}{3} - 2 + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) $$ $$ = \frac{8}{3} - \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6} \right) = \frac{8}{3} - \frac{5}{6} $$ $$ = \frac{16}{6} - \frac{5}{6} = \frac{11}{6} $$

최종적으로 구하는 값은 여기에 60을 곱한 값입니다.

$$ 60 \times \frac{11}{6} = 10 \times 11 = 110 $$
[참고도 4 : 계산된 정적분의 기하학적 의미 (넓이)] 1 2 넓이 = 11/6
정답 | ③ 110

3 이론 매칭

미분가능성과 연속성 우극한과 좌극한 (경계점에서의 극한) 항등식의 미분 다항함수의 정적분

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

  • 오류 : 도함수의 극한을 미분계수로 무분별하게 사용하는 착각

    학생들은 구간별로 정의된 함수에서 경계점의 미분가능성을 확인할 때, 미분계수의 정의식 $\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 을 사용하지 않고 단순히 도함수를 구한 뒤 극한값 $\lim\limits_{x \to 1} f'(x)$ 을 대입하여 비교하는 실수를 자주 합니다. 고등학교 교육과정 내의 다항함수에서는 도함수가 연속이므로 결과적으로 같게 나오지만, 엄밀한 수학적 정의로는 구별되어야 합니다.

    올바른 논리 전개 : 미분계수의 정의 활용 다행히 이 문제에서는 $f(x)$ 가 다항함수의 조각들로 이루어질 것임을 수식의 형태로부터 추론할 수 있으므로, $f'(1) = \lim\limits_{x \to 1-} f'(x) = 1$ 로 사용해도 무방합니다. 하지만 서술형이나 보다 복잡한 초월함수에서는 반드시 원래의 미분계수 정의를 사용하는 습관을 들여야 합니다.

5 핵심 이론 증명 | 미분가능하면 연속이다

이 문제의 Step 1에서 사용된 '미분가능하면 연속이다'라는 명제는 함수 해석의 가장 기본이 되는 중요한 정리입니다.

[정리] 미분가능성과 연속성

함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하면, $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 연속이다.

(역은 성립하지 않음. 예 : $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이나 미분불가능)

논리적 증명 과정 :

  1. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하므로, 미분계수 $f'(a)$ 가 존재합니다.
    $$ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) $$
  2. 함수 $f(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속임을 보이려면 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$, 즉 $\lim\limits_{x \to a} \{f(x) - f(a)\} = 0$ 임을 보이면 됩니다.
  3. $x \neq a$ 일 때, 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
    $$ \lim\limits_{x \to a} \{f(x) - f(a)\} = \lim\limits_{x \to a} \left\{ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \times (x - a) \right\} $$
  4. 극한의 성질에 의해 두 극한이 모두 존재하므로 분리할 수 있습니다.
    $$ = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \times \lim\limits_{x \to a} (x - a) $$ $$ = f'(a) \times 0 = 0 $$
  5. 따라서 $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ 가 성립하여 $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 연속임이 증명됩니다. 이 성질 덕분에 우리는 이 문제에서 $f(1) = \lim\limits_{x \to 1-} f(x)$ 를 자신 있게 사용할 수 있었습니다.

미분가능성 기하학적 시뮬레이터

i 미지수 $a, b$ 에 따른 곡선의 변화 관찰

문제에서 요구한 조건은 '실수 전체에서 미분가능'이었습니다. 슬라이더를 조작하여 $a$ 와 $b$ 의 값을 변경해 보세요.

$b$ 는 함수의 연속성 (연결 여부)에 관여하고, $a$ 는 함수의 미분가능성 (부드러운 연결, 기울기)에 관여합니다. $a=1, b=1$ 일 때만 $x=1$ 에서 그래프가 부드럽게 이어지는 것을 확인할 수 있습니다.
(그래프 상의 빨간 점은 불연속, 주황 점은 미분불가, 녹색 점은 미분가능을 의미합니다.)

$b$ (연속성 결정 요소) b = 1.0
$a$ (미분가능성 결정 요소) a = 1.0
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