수능 출제 분석

절댓값을 포함한 수열의 합과 논리적 추론

Q 문제 원문

문제 이미지

수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|a_1| = 2$

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1}| = 2|a_n|$ 이다.

(다) $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n = -14$

$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9$ 의 값을 구하시오. [4점]

① $674$
② $676$
③ $678$
④ $680$
⑤ $682$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 등비수열의 귀납적 정의를 이해하고, 조건에 맞는 수열의 각 항의 부호를 대수적 연산과 논리적 추론을 통해 결정하는 능력을 평가합니다.

  • 절댓값을 포함한 수열의 점화식을 해석하여 일반항의 절댓값의 규칙(등비수열)을 파악하는 능력
  • 전체 합산 결과와 절댓값의 총합 사이의 관계를 이용하여, 양수 항들과 음수 항들의 합을 각각 분리하여 대수적으로 계산하는 능력
  • 주어진 합의 결과를 만족시키기 위해 가장 큰 수부터 차례로 연역적 판단을 내리는 하향식 논리 전개 및 이진법의 원리 적용 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

수열의 절댓값 성질 파악 및 일반항 도출

조건 (나)에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1}| = 2|a_n|$ 이 성립합니다. 이는 수열 $\{|a_n|\}$ 이 공비가 $2$인 등비수열임을 의미합니다.

조건 (가)에서 첫째항의 절댓값 $|a_1| = 2$ 이므로, 수열 $\{|a_n|\}$ 의 일반항은 다음과 같습니다.

$$ |a_n| = |a_1| \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $$

따라서 원래 수열 $a_n$ 은 절댓값을 벗기면 각 항마다 양수 또는 음수의 값을 가질 수 있습니다. 즉, $a_n = 2^n$ 또는 $a_n = -2^n$ 입니다.

[참고도 1 : 절댓값 수열의 기하급수적 증가] n (항 번호) |an| = 2n 1 2 3 4 5 ... 2 4 8 16 32
Step 2

수열의 합 분석 및 부분합 문제로의 변환

조건 (다)에서 $1$항부터 $10$항까지의 실제 합이 $-14$ 입니다. 이를 해석하기 위해 먼저 모든 항의 절댓값의 총합을 구해봅시다. 등비수열의 합 공식을 사용합니다.

$$ S_{|a|} = \displaystyle \sum_{n=1}^{10} |a_n| = \displaystyle \sum_{n=1}^{10} 2^n = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2(1024 - 1) = 2046 $$

이제 수열 $a_n$ 중 양수인 항들의 합을 $P$, 음수인 항들의 절댓값의 합을 $N$ 이라 정의합시다.

  • 실제 합 : $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n = P - N = -14$
  • 절댓값 합 : $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} |a_n| = P + N = 2046$

이 두 식을 연립하여 $P$ 와 $N$ 의 값을 구합니다. 두 식을 더하거나 빼면,

$$ (P - N) + (P + N) = -14 + 2046 \implies 2P = 2032 \implies P = 1016 $$ $$ (P + N) - (P - N) = 2046 - (-14) \implies 2N = 2060 \implies N = 1030 $$

따라서, 양수인 항들의 합은 $1016$, 음수 항들의 절댓값 합은 $1030$ 이 되어야 함을 알 수 있습니다.

[참고도 2 : 절댓값 합의 분할 모델] P (양수 합) = 1016 N (음수 절댓값 합) = 1030 전체 절댓값 합 = 2046
Step 3

조건을 만족하는 항의 부호 결정 (두 가지 풀이법)

방법 1 (추천) 음수 항의 합(N=1030)으로 찾기 : 하향식 직관 추론

Step 2에서 구한 음수인 항들의 절댓값 합 $N = 1030$을 이용하면 계산을 크게 줄일 수 있습니다. $\{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\}$ 중에서 합이 $1030$이 되도록 골라야 합니다.

  • 가장 큰 수 1024 ($a_{10}$)는 무조건 선택해야 합니다.
    (선택 안 할 시, 남은 수를 전부 다 더해도 $1022$에 불과하여 $1030$을 절대 만들 수 없음)
  • 채워야 할 나머지 합 : $1030 - 1024 = \mathbf{6}$
  • 합이 $6$이 되는 남은 수의 조합은 4 ($a_2$) 와 2 ($a_1$) 뿐입니다.

💡 결론 : 음수인 항은 $a_1(-2), a_2(-4), a_{10}(-1024)$ 단 3개이며, 나머지는 자동으로 양수 확정!

방법 2 양수 합(P=1016)을 이진법 원리로 분해하기

양수인 항들의 합 $P = 1016$ 을 집합 $\{2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^{10}\}$ 의 부분집합의 합으로 만들어야 합니다. 이는 특정 자연수를 $2$의 거듭제곱수의 합으로 유일하게 표현할 수 있다는 이진법의 원리와 같습니다. 큰 수부터 빼나가며 분해해 봅시다.

1016 = 512 + 504 ($2^9$ 포함)
     = 512 + 256 + 248 ($2^8$ 포함)
     = 512 + 256 + 128 + 120 ($2^7$ 포함)
     = 512 + 256 + 128 + 64 + 56 ($2^6$ 포함)
     = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 24 ($2^5$ 포함)
     = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 ($2^4$ 포함)
     = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 ($2^3$ 포함)

또는, $\displaystyle \sum_{k=1}^9 2^k = 1022$ 임을 알고 있다면, $1016 = 1022 - 6 = 1022 - (2 + 4) = 1022 - (2^1 + 2^2)$ 로 파악할 수도 있습니다.
결과적으로 양수인 항은 $a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9$ 이며, 음수인 항은 $a_1, a_2, a_{10}$ 으로 확정됩니다.

[참고도 3 : 1016의 2진 블록 구성] 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 a₁ a₂ a₃ a₄ a₉ a₁₀
Step 4

최종 구하고자 하는 값 계산

모든 항의 값이 확정되었으므로, 문제에서 요구하는 홀수 번째 항들의 합을 계산합니다.

  • $a_1 = -2$
  • $a_3 = 8$
  • $a_5 = 32$
  • $a_7 = 128$
  • $a_9 = 512$
$$ a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = -2 + 8 + 32 + 128 + 512 $$ $$ \therefore 678 $$

정답 : ③ $678$

3 이론 매칭

등비수열의 일반항 등비수열의 합 공식 수열의 귀납적 정의 이진법 (2의 거듭제곱의 합)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : $a_{10}$ 의 부호를 무분별하게 대입하여 찾는 행위

  • 오류 : 체계적인 합의 분리 없이 $a_{10}$ 이 양수일 때, 음수일 때를 전부 나열하며 시행착오를 겪는 경우

    $2^{10}=1024$ 로 매우 큰 값입니다. 이런 수열에서 부호를 결정할 때는 가장 큰 항의 영향력을 먼저 평가하는 하향식(Top-down) 논리가 필수적입니다.

    논리적 모순 증명 : $a_{10}$ 이 양수라면? 만약 $a_{10} = 1024$ 라고 가정해 봅시다.
    나머지 항 $a_1$ 부터 $a_9$ 까지가 모두 가장 작은 값을 가지는 상황(모두 음수)을 극단적으로 가정하더라도, 그들의 합은
    $-\displaystyle \sum_{n=1}^{9} 2^n = -(2^{10} - 2) = -1022$ 입니다.
    이 경우 전체 합은 최소 $1024 - 1022 = 2$ 가 됩니다.
    전체 합이 $-14$ 가 되어야 한다는 조건에 절대 미치지 못하므로, 가장 큰 항인 $a_{10}$ 은 무조건 음수(-1024)이어야 함을 단번에 증명할 수 있습니다. 이를 통해 탐색 범위를 획기적으로 줄일 수 있습니다.

5 핵심 이론 증명 : 등비수열의 합 공식 유도

본 문항의 핵심 도구인 등비수열의 합 공식은 양변에 공비를 곱하여 빼는 테크닉($S_n - rS_n$)을 통해 유도됩니다.

[정리] 등비수열의 합

첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \neq 1$)인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$ 은 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ 이다.

유도 과정 :

  • 등비수열의 합 $S_n$ 을 나열합니다.
    $$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1} \quad \cdots \text{①} $$
  • 식 ①의 양변에 공비 $r$ 을 곱합니다.
    $$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n \quad \cdots \text{②} $$
  • 식 ①에서 식 ②를 변끼리 뺍니다. 중간 항들이 모두 소거됩니다.
    $$ S_n - rS_n = a - ar^n $$ $$ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) $$
  • $r \neq 1$ 이므로 양변을 $(1-r)$ 로 나누어 줍니다.
    $$ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $$

수열 부호 토글 시뮬레이터

■ $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n = -14$ 만들기

아래의 $a_1$부터 $a_{10}$까지의 (+) / (-) 버튼을 클릭하여 각 항의 부호를 변경해보세요. 실시간으로 하단의 합계가 계산되며 캔버스에 수열의 값이 시각화됩니다. 합계가 정확히 -14가 되는 조합을 찾아보세요.

정답 조합의 논리적 배경

절댓값의 총합은 $2046$입니다. 합이 $-14$가 되기 위해서는 양수인 항의 합($P$)과 음수인 항의 절댓값 합($N$)이 $P - N = -14$, $P + N = 2046$을 만족해야 하므로 $N = 1030$, $P = 1016$이 되어야 합니다.

가장 큰 수인 $1024$ ($a_{10}$)는 반드시 음수여야 하며($N$을 채우기 위해), 나머지 $6$은 $4+2$ 즉, $a_2, a_1$로 채울 수 있습니다. 따라서 a₁, a₂, a₁₀ 은 (-), 나머지 a₃ ~ a₉ 까지가 (+)가 되어야만 유일한 정답 조합이 완성됩니다.

항 부호 설정 (클릭하여 토글)
현재 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n$ 의 값
2046
x축 : 항 번호 ($n$)
y축 : aₙ 값 (비례 스케일)