새롭게 정의된 함수의 극한과 그래프의 개형 추론
최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 방정식 $f'(x) = 0$ 이 닫힌구간 $[t, t+2]$ 에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$ 라 할 때, 함수 $g(t)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\lim\limits_{t \to a+} g(t) + \lim\limits_{t \to a-} g(t) \le 2$ 이다.
(나) $g(f(1)) = g(f(4)) = 2$, $g(f(0)) = 1$
$f(5)$ 의 값을 구하시오. [4점]
이 문항은 구간에 따라 새롭게 정의된 함수 $g(t)$ 의 불연속성을 이해하고, 극한의 조건으로부터 삼차함수 도함수의 근의 간격을 추론하는 고도의 논리력을 평가합니다.
$f(x)$ 가 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$ 인 삼차함수이므로, 도함수 $f'(x)$ 는 최고차항의 계수가 $\frac{3}{2}$ 인 이차함수입니다. 방정식 $f'(x) = 0$ 은 최대 2개의 실근을 가집니다.
만약 중근을 갖거나 허근을 가진다면, 구간 $[t, t+2]$ 에 포함되는 실근의 개수 $g(t)$ 의 최댓값은 1 이하가 됩니다. 하지만 조건 (나)에서 $g(f(1)) = 2$ 라고 하였으므로, $f'(x) = 0$ 은 반드시 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.
이 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) 라고 합시다. $g(t)$ 는 구간 $[t, t+2]$ 가 이동하면서 이 두 실근 중 몇 개를 포함하는지 나타내는 함수입니다.
조건 (가)에 의하면 임의의 실수 $a$ 에 대하여 극한의 합이 2 이하이어야 합니다. 두 실근 간의 거리 $\beta - \alpha$ 에 따라 경우를 나누어 분석합니다.
Case 1 : $\beta - \alpha < 2$ 인 경우 (모순 발생)
두 근의 거리가 2보다 작다면, 길이가 2인 구간 $[t, t+2]$ 가 두 근을 동시에 포함하는 여유 구간이 생깁니다.
이때 $a = \beta - 2$ 라고 가정해 봅시다.
$\cdot$ $t \to a+$ 일 때, $t$ 는 $\beta-2$ 보다 살짝 큽니다. 구간은 $\alpha$ 와 $\beta$ 를 모두 포함하므로 $\lim\limits_{t \to a+} g(t) = 2$ 입니다.
$\cdot$ $t \to a-$ 일 때, $t$ 는 $\beta-2$ 보다 작습니다. 구간 오른쪽 끝 $t+2$ 가 $\beta$ 보다 작아지므로 $\alpha$ 만 포함합니다. 따라서 $\lim\limits_{t \to a-} g(t) = 1$ 입니다.
두 극한의 합이 $2 + 1 = 3$ 이 되어 조건 (가)의 $\le 2$ 를 위배합니다.
Case 2 : $\beta - \alpha = 2$ 인 경우 (조건 만족)
두 근의 거리가 정확히 2라면, 구간이 두 근을 동시에 포함하는 순간은 오직 $t = \alpha$ 일 때뿐입니다. ($[\alpha, \alpha+2]$ 가 곧 $[\alpha, \beta]$ 가 되므로)
이때 $g(\alpha) = 2$ 이지만, $t$ 가 $\alpha$ 보다 아주 조금이라도 작거나 크면 두 근 중 하나만 포함하게 됩니다.
즉, $\lim\limits_{t \to \alpha+} g(t) = 1$ 이고, $\lim\limits_{t \to \alpha-} g(t) = 1$ 입니다. 두 극한의 합은 $1 + 1 = 2$ 가 되어 조건을 완벽히 만족합니다.
만약 $\beta - \alpha > 2$ 라면 두 근을 동시에 포함할 수 없어 $g(t)$ 의 최댓값이 1이 되고, 이는 조건 (나)의 $g(f(1))=2$ 에 위배됩니다.
결론적으로 두 실근의 거리는 정확히 2이며, $\beta = \alpha + 2$ 입니다.
조건 (나)에서 $g(f(1)) = g(f(4)) = 2$ 라고 했습니다. Step 2에서 $g(t) = 2$ 가 되는 $t$ 값은 오직 $\alpha$ 하나뿐임을 확인했습니다.
따라서, $f(1) = \alpha$ 이고 $f(4) = \alpha$ 이어야 합니다.
함숫값이 같으므로 롤의 정리에 의해 $x=1$ 과 $x=4$ 사이에 $f'(x) = 0$ 인 근이 존재합니다. 도함수의 근은 $\alpha, \alpha+2$ 이므로, 이 중 하나가 구간 $(1, 4)$ 에 있습니다.
정적분과 함수의 증감 관계를 이용합시다. $f(4) - f(1) = \int_{1}^{4} f'(x) dx = 0$ 이 성립해야 합니다.
대입하여 계산하면: $$ \frac{63}{3} - 15(\alpha+1) + 3(\alpha^2+2\alpha) = 0 $$ $$ 21 - 15\alpha - 15 + 3\alpha^2 + 6\alpha = 0 $$ $$ 3\alpha^2 - 9\alpha + 6 = 0 \implies \alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0 \implies (\alpha-1)(\alpha-2) = 0 $$
따라서 가능한 $\alpha$ 의 값은 $1$ 또는 $2$ 입니다.
구해진 $\alpha$ 값에 따라 두 가지 경우를 확인하여, 남은 조건인 $g(f(0)) = 1$ 을 만족하는지 검증합니다.
검증 1 : $\alpha = 2$ 인 경우
$f(1) = 2$ 이고 $f'(x) = \frac{3}{2}(x-2)(x-4) = \frac{3}{2}(x^2 - 6x + 8)$ 입니다.
적분하면 $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 12x + C$.
$f(1) = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 12 + C = 8 + C = 2 \implies C = -6$.
따라서 $f(0) = -6$ 입니다.
조건을 확인하면 $g(f(0)) = g(-6)$ 이 됩니다. 구간 $[-6, -4]$ 에는 근 $x=2, 4$ 가 하나도 포함되지 않으므로 $g(-6) = 0$ 입니다. 이는 $g(f(0))=1$ 에 모순입니다.
검증 2 : $\alpha = 1$ 인 경우 (정답)
$f(1) = 1$ 이고 $f'(x) = \frac{3}{2}(x-1)(x-3) = \frac{3}{2}(x^2 - 4x + 3)$ 입니다.
적분하면 $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{9}{2}x + C$.
$f(1) = \frac{1}{2} - 3 + \frac{9}{2} + C = 2 + C = 1 \implies C = -1$.
따라서 $f(0) = -1$ 입니다.
조건을 확인하면 $g(f(0)) = g(-1)$ 이 됩니다. 구간 $[-1, 1]$ 에는 근 $x=1$ 이 정확히 1개 포함되므로 $g(-1) = 1$ 입니다. 조건에 완벽히 부합합니다!
최종적으로 확정된 함수는 $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{9}{2}x - 1$ 입니다. 문제에서 구하고자 하는 $f(5)$ 의 값을 계산합니다.
오류 : 슬라이딩 윈도우의 경계 포함 여부 착각
학생들은 구간 $[t, t+2]$ 에 근이 포함되는 조건을 따질 때, 닫힌구간(경계 포함)임에도 불구하고 $t$ 가 극한으로 다가갈 때 경계의 근이 어떻게 처리되는지 혼동합니다. 예를 들어 $\lim_{t \to \alpha-} g(t)$ 를 생각할 때, 단순히 $t$ 가 $\alpha$ 일 때의 $g(\alpha)$ 값으로 대충 생각하여 불연속성을 놓치기 쉽습니다.
Step 3에서 $f(4) - f(1) = 0$ 임을 도함수의 정적분으로 해결했습니다. 이는 미적분학의 기본 정리에 근거합니다.
함수 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고, 구간 내에서 미분가능하며 도함수 $f'(x)$ 가 연속일 때, 다음이 성립한다.
논리적 증명 과정 :
이 성질을 이용하면, 두 지점의 함숫값이 같다는 조건 ($f(a) = f(b)$) 은 곧 두 지점 사이의 도함수 넓이의 합(부호를 고려한 정적분)이 0이 된다는 강력한 대수적 방정식으로 치환할 수 있습니다. 수능에서 미지수를 줄이고 식을 확정할 때 가장 빈번하게 사용되는 논리 구조입니다.
i $t$ 의 변화에 따른 $g(t)$ 의 관찰
위쪽 그래프는 $f'(x)$ 이며, 파란색 영역은 폭이 2인 구간 $[t, t+2]$ 입니다. 아래쪽 그래프는 $t$ 에 따른 실근 포함 개수 $g(t)$ 의 값입니다. 슬라이더를 움직여 극한의 좌우 성질을 직접 확인해 보세요.
(현재 설정 : 정답 조건인 두 근 $\alpha=1, \beta=3$ 기준)