수능 출제 분석

등비수열을 포함한 무한등비급수의 계산 및 수렴 조건 이해

Q 문제 원문

25. 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 = 6 $$

일 때, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 값은? [3점]

① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 무한등비급수의 수렴 조건을 이해하고, 주어진 식을 바탕으로 등비수열의 첫째항과 공비를 찾아내는 대수적 계산 능력을 평가합니다.

  • 등비수열의 성질을 이용하여 새로운 수열의 첫째항과 공비를 정확히 유도하는 능력
  • 급수가 수렴할 때의 조건(공비의 절댓값이 1보다 작음)을 인지하는 능력
  • 두 개의 급수 식을 연립하여 미지수를 해결하는 식 조작 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

등비수열의 정의 및 미지수 설정

주어진 수열 $\{a_n\}$ 은 등비수열이므로, 첫째항을 $a$, 공비를 $r$ 이라고 설정합니다. ($a \neq 0$)
등비수열의 일반항은 다음과 같습니다.

$$ a_n = a r^{n-1} $$

문제에서 무한급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n})$ 과 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 이 모두 특정한 실수 값(3, 6)으로 수렴한다고 하였으므로, 이와 관련된 무한등비급수 역시 수렴해야 합니다. 무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은 공비의 절댓값이 1보다 작아야 한다는 것입니다. 따라서 $|r| < 1$ 임을 알 수 있습니다.

[참고도 1 : 등비수열의 항 나열] a₁ = a × r a₂ = ar × r a₃ = ar² × r a₄ = ar³
Step 2

첫 번째 조건식 분석

주어진 식 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = 3$ 의 좌변에 있는 수열의 일반항을 살펴봅시다. 홀수항 $a_{2n-1}$ 과 짝수항 $a_{2n}$ 을 $a$ 와 $r$ 로 나타내면 다음과 같습니다.

$$ a_{2n-1} = a r^{(2n-1)-1} = a r^{2n-2} $$ $$ a_{2n} = a r^{(2n)-1} = a r^{2n-1} $$

두 식을 빼면 새로운 수열을 얻을 수 있습니다.

$$ a_{2n-1} - a_{2n} = a r^{2n-2} - a r^{2n-1} = a r^{2n-2}(1 - r) $$ $$ = a(1-r) \cdot (r^2)^{n-1} $$

이는 첫째항이 $a(1-r)$ 이고, 공비가 $r^2$ 인 등비수열임을 의미합니다. 무한등비급수의 합 공식을 이용하면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다. (단, $|r| < 1$ 이므로 $|r^2| < 1$ 도 성립하여 수렴합니다.)

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n}) = \frac{a(1-r)}{1-r^2} = \frac{a(1-r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{a}{1+r} = 3 $$
결과 식 1 : $a = 3(1+r)$
[참고도 2 : 수열 $(a_{2n-1} - a_{2n})$ 의 구조] a₁ - a₂ = a(1-r) a₃ - a₄ = ar²(1-r) a₅ - a₆ = ar⁴(1-r) 공비 : × r² 공비 : × r²
Step 3

두 번째 조건식 분석

두 번째 식 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 = 6$ 을 살펴봅시다. 새로운 수열 $a_n^2$ 의 일반항을 구합니다.

$$ a_n^2 = (a r^{n-1})^2 = a^2 (r^2)^{n-1} $$

이는 첫째항이 $a^2$ 이고, 공비가 $r^2$ 인 등비수열입니다. 무한등비급수의 합 공식을 적용합니다.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \frac{a^2}{1-r^2} = 6 $$
결과 식 2 : $\frac{a^2}{1-r^2} = 6$
[참고도 3 : 수열 $a_n^2$ 의 의미 시각화 (면적)] a₁² = a² × r² a₂² = a²r² × r² a₃² = a²r⁴ ... 길이의 비가 r일 때, 넓이의 비는 r²이 됨을 연상
Step 4

연립방정식 풀이 및 최종 정답 도출

Step 2와 Step 3에서 구한 식을 연립합니다.

$$ a = 3(1+r) \quad \dots \text{①} $$ $$ \frac{a^2}{1-r^2} = 6 \quad \dots \text{②} $$

식 ①을 식 ②에 대입하여 $r$ 에 대한 방정식을 만듭니다.

$$ \frac{\{3(1+r)\}^2}{1-r^2} = 6 $$ $$ \frac{9(1+r)^2}{(1-r)(1+r)} = 6 $$

$|r| < 1$ 이므로 $1+r \neq 0$ 입니다. 분모와 분자에서 $(1+r)$ 을 약분합니다.

$$ \frac{9(1+r)}{1-r} = 6 $$ $$ 9(1+r) = 6(1-r) $$ $$ 9 + 9r = 6 - 6r $$ $$ 15r = -3 \implies r = -\frac{1}{5} $$

구한 $r$ 의 값을 식 ①에 대입하여 $a$ 의 값을 구합니다.

$$ a = 3\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5} $$

마지막으로 문제에서 요구하는 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 의 값을 계산합니다.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{12}{5}}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{6}{5}} = 2 $$
정답 | ② 2

3 이론 매칭

등비수열의 일반항 무한등비급수의 수렴 조건 무한등비급수의 합 수열의 극한의 기본 성질

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

  • 오류 : 급수의 분배 법칙 오용

    학생들은 흔히 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1} - a_{2n})$ 을 직관적으로 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n}$ 로 쪼개어 계산하려고 합니다. 이 문제의 경우 $|r|<1$ 조건이 내포되어 있어 분리가 가능하지만, 만약 수렴성이 보장되지 않은 상태에서 함부로 급수를 분리하면 심각한 논리적 오류(예 : 무한대 - 무한대 꼴)에 빠질 수 있습니다.

    올바른 논리 전개 : 급수를 다룰 때는 분리하기 전에 항상 각각의 급수가 수렴하는지 확인해야 합니다. 안전한 방법은 위 해설처럼 $(a_{2n-1} - a_{2n})$ 자체를 하나의 새로운 수열 $b_n$ 으로 취급하여 일반항을 구하고, 그 수열의 수렴 조건을 기반으로 한 번에 계산하는 것입니다.

5 핵심 이론 증명 | 등비급수의 합 공식 유도

풀이 전반에 사용된 무한등비급수의 합 $S = \frac{a}{1-r}$ 공식의 유도 과정을 논리적으로 서술합니다.

논리적 증명 과정 :

  1. 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ 인 등비수열의 제1항부터 제$n$항까지의 부분합을 $S_n$ 이라 하면,
    $$ S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} \quad \dots \text{①} $$
  2. 양변에 공비 $r$ 을 곱합니다.
    $$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n \quad \dots \text{②} $$
  3. 식 ①에서 식 ②를 뺍니다. 중간 항들이 모두 소거됩니다.
    $$ S_n - rS_n = a - ar^n $$ $$ (1-r)S_n = a(1 - r^n) $$
  4. $r \neq 1$ 일 때, $S_n$ 을 구합니다.
    $$ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $$
  5. 이제 무한등비급수의 합을 구하기 위해 $n \to \infty$ 로 극한을 취합니다. 급수가 수렴하기 위한 조건은 $|r| < 1$ 이며, 이 경우 $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ 이 됩니다.
    $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(1 - 0)}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} $$
    (이때 $a=0$ 인 경우는 모든 항이 0이므로 합은 0이 되어 역시 성립합니다.)

무한등비급수 수렴 시뮬레이터

i 부분합 $S_n$ 의 수렴성 관찰

아래 그래프는 항의 개수 $n$ 이 증가함에 따라 세 가지 무한급수의 부분합이 각각 특정한 목표값(2, 3, 6)으로 수렴하는 과정을 시각적으로 보여줍니다. 슬라이더를 조작하여 $n$ 을 증가시켜 보세요.

항의 개수 ($n$) n = 1
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ (목표 : 2)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{2n-1}-a_{2n})$ (목표 : 3)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n^2$ (목표 : 6)