수능 출제 분석

평면벡터를 활용한 두 직선이 이루는 각의 크기

Q 문제 원문

25. 좌표평면에서 두 직선

$$ \frac{x+1}{2} = y-3, \quad x-2 = \frac{y-5}{3} $$

가 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos\theta$ 의 값은? [3점]

① $\frac{1}{2}$
② $\frac{\sqrt{5}}{4}$
③ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
④ $\frac{\sqrt{7}}{4}$
⑤ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 직선의 방정식에서 방향벡터를 추출하고, 평면벡터의 내적을 이용하여 두 직선이 이루는 각의 크기를 계산하는 능력을 평가합니다.

  • 주어진 직선의 방정식 형태로부터 각 직선과 평행한 방향벡터의 성분을 정확히 읽어내는 능력
  • 두 평면벡터의 성분을 이용하여 내적과 각 벡터의 크기를 계산하는 능력
  • 벡터의 내적의 기하학적 정의를 활용하여, 예각의 크기에 대한 코사인 값을 도출하는 대수적 처리 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

각 직선의 방향벡터 구하기

두 직선이 이루는 각은 각 직선의 방향벡터가 이루는 각과 밀접한 관련이 있습니다. 주어진 직선의 방정식을 표준형 $\frac{x-x_1}{u_1} = \frac{y-y_1}{u_2}$ 으로 변형하여 방향벡터를 추출합니다.

첫 번째 직선 :

$$ \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{1} $$

이 직선의 방향벡터를 $\vec{u}$ 라고 하면, 분모에 있는 값들이 각각 $x$ 성분과 $y$ 성분이 되므로 $\vec{u} = (2, 1)$ 입니다.

두 번째 직선 :

주어진 식 $x-2 = \frac{y-5}{3}$ 은 좌변을 분수 형태로 명확히 하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ \frac{x-2}{1} = \frac{y-5}{3} $$

이 직선의 방향벡터를 $\vec{v}$ 라고 하면, 마찬가지로 $\vec{v} = (1, 3)$ 이 됩니다.

[참고도 1 : 좌표평면 상의 두 직선]
Step 2

방향벡터의 내적과 크기 계산하기

두 벡터가 이루는 각의 코사인 값을 구하기 위해, 먼저 두 벡터의 성분을 이용한 내적과 각각의 크기를 계산합니다.

벡터 $\vec{a}=(a_1, a_2), \vec{b}=(b_1, b_2)$ 에 대하여
크기 : $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
내적 : $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

1) 방향벡터 $\vec{u}$ 의 크기

$$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$

2) 방향벡터 $\vec{v}$ 의 크기

$$ |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $$

3) 두 방향벡터의 내적

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 3 = 5 $$
Step 3

두 직선이 이루는 예각의 크기 계산

두 직선이 이루는 각 중 예각의 크기를 $\theta \,\, (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2})$ 라 하면, $\cos\theta$ 는 항상 $0$ 이상의 값을 가집니다. 따라서 두 방향벡터가 이루는 각의 크기를 구할 때 내적에 반드시 절댓값을 씌워야 합니다.

$$ \cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} $$

Step 2에서 구한 값들을 이 공식에 대입합니다.

$$ \cos\theta = \frac{|5|}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} $$ $$ = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
[참고도 2 : 원점으로 평행이동한 두 방향벡터가 이루는 각]

따라서 구하는 $\cos\theta$ 의 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

3 이론 매칭

직선의 방정식 (벡터 형태) 방향벡터 평면벡터의 성분과 크기 평면벡터의 내적 두 평면벡터가 이루는 각
심화 수학 연계 이 문항은 미적분 과목의 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 두 직선의 기울기를 탄젠트 값으로 두고 풀이할 수도 있습니다. (기울기 $m_1 = 1/2, m_2 = 3$ 을 이용하여 $\tan\theta = \left| \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} \right| = 1$ 을 도출하는 방식) 하지만 기하 과목의 특성상 벡터의 내적을 활용하는 것이 가장 기본적이고 출제 의도에 부합합니다.

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

  • 오류 : '두 벡터가 이루는 각'과 '두 직선이 이루는 각'의 혼동

    학생들은 종종 절댓값 기호를 누락하여 $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 로만 계산합니다. 이 문제에서는 내적 값이 양수($5$)이므로 운 좋게 정답을 맞힐 수 있지만, 만약 내적이 음수가 나오는 방향벡터 쌍을 선택했다면 $\cos\theta$ 가 둔각에 대한 음수 값으로 도출되는 실수를 범하게 됩니다.

    올바른 논리 전개 : 교각과 예각의 정의 두 직선이 만나면 일반적으로 크기가 다른 두 쌍의 맞꼭지각이 생깁니다 (합이 180도). 수학에서 특별한 언급 없이 '두 직선이 이루는 각'이라 하면 보통 예각(또는 직각)을 의미합니다.

    방향벡터 $\vec{u}, \vec{v}$ 가 이루는 각을 $\alpha$ 라 하면, 두 직선이 이루는 예각 $\theta$ 는 $\alpha$ 가 예각이면 $\theta = \alpha$, 둔각이면 $\theta = \pi - \alpha$ 가 됩니다. $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ 이므로, 항상 양의 코사인 값을 얻기 위해 분자의 내적에 절댓값을 씌우는 것입니다.
    즉, $\cos\theta = |\cos\alpha| = \left| \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} \right|$ 가 논리적으로 타당합니다.

5 핵심 이론 증명 | 벡터 내적의 기하학적 정의 유도

우리가 자연스럽게 사용하는 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 라는 공식은 벡터의 성분 정의와 코사인 법칙으로부터 유도됩니다.

[정리] 코사인 법칙을 이용한 내적 증명

평면벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, 성분곱의 합 $a_1b_1 + a_2b_2$ 가 $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 와 같음을 증명합니다.

논리적 증명 과정 :

  1. 좌표평면의 원점 $O$ 에 대하여 $\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}$ 라 하면, 삼각형 $OAB$ 에서 $\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ 입니다.
  2. 삼각형 $OAB$ 에 코사인 법칙을 적용합니다.
    $$ |\overrightarrow{BA}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - 2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta $$ $$ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$
  3. 좌변을 성분을 이용하여 전개합니다. 벡터 크기의 제곱은 각 성분 제곱의 합입니다.
    $$ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 $$ $$ = (a_1^2 - 2a_1b_1 + b_1^2) + (a_2^2 - 2a_2b_2 + b_2^2) $$ $$ = (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2(a_1b_1 + a_2b_2) $$ $$ = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2) $$
  4. 2번 식의 우변과 3번 식의 우변이 같아야 하므로 다음과 같은 등식이 성립합니다.
    $$ -2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = - 2(a_1b_1 + a_2b_2) $$ $$ \therefore a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta $$
  5. 이때 좌변 $a_1b_1 + a_2b_2$ 를 벡터 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 의 내적(Inner Product)이라 정의하고 기호로 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 라 씁니다. 이를 통해 각도 계산을 대수적으로 처리할 수 있게 됩니다.

두 벡터가 이루는 각도 시뮬레이터

i 기하학적 조건의 변화 관찰

슬라이더를 움직여 두 벡터 $\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 의 성분을 변경해 보세요. (기본값은 문제의 조건입니다)
벡터의 성분이 변함에 따라 내적 값의 부호와 두 직선이 이루는 예각 $\theta$ 가 어떻게 유지되고 계산되는지 실시간으로 확인할 수 있습니다.
* 본 문제는 2차원 좌표평면 기하이므로 직관성을 위해 2D 인터랙티브 캔버스로 구현되었습니다.

방향벡터 $\vec{u}$ (2, 1)
방향벡터 $\vec{v}$ (1, 3)
내적 ($\vec{u} \cdot \vec{v}$)
5.00
교각 ($\alpha$)
45.0°
예각 $\cos\theta$
0.707
2차원 좌표평면
직선 1 ($\vec{u}$)
직선 2 ($\vec{v}$)