2022학년도 수능 수학 확률과 통계 25번 해설

수능 출제 분석

자연수 조건의 부정방정식과 중복조합의 응용

Q 문제 원문

다음 조건을 만족시키는 자연수 $a, b, c, d, e$ 의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$ 의 개수는? [3점]

(가) $a + b + c + d + e = 12$

(나) $|a^2 - b^2| = 5$

① 30

② 32

③ 34

④ 36

⑤ 38

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 자연수 조건이 주어진 제한된 상황에서 방정식의 해를 구하고, 이를 중복조합을 활용하여 경우의 수로 연결하는 논리적 추론 능력을 평가합니다.

인수분해와 자연수의 성질(소수, 약수)을 이용하여 미지수의 값을 한정하는 대수적 추론 능력
방정식의 해를 구하기 위해 음이 아닌 정수 조건으로 치환하여 중복조합의 기본 형태로 변환하는 문제 해결 능력
합의 법칙과 곱의 법칙을 올바르게 적용하여 최종적인 순서쌍의 개수를 도출하는 연산 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

조건 (나)의 대수적 분석 및 $a, b$ 결정

조건 (나)에 주어진 식 $|a^2 - b^2| = 5$ 를 인수분해를 통해 정리해 봅시다.

|(a-b)(a+b)| = 5 $$ $$ |a-b| \cdot (a+b) = 5 \quad (\because a, b \text{는 자연수이므로 } a+b > 0)

$a$ 와 $b$ 는 자연수이므로, $a+b$ 는 자연수이고 그 값은 최소 $1+1=2$ 이상입니다.
$5$ 는 소수(Prime Number)이므로 두 자연수의 곱으로 나타내는 방법은 $1 \times 5$ 뿐입니다. 따라서 $a+b \ge 2$ 조건에 의해 다음이 성립해야 합니다.

a+b = 5 \quad \text{이고} \quad |a-b| = 1

$|a-b|=1$ 은 $a-b=1$ 또는 $a-b=-1$ 을 의미하므로 연립방정식을 풀면 두 가지 순서쌍이 나옵니다.

$a+b=5, a-b=1$ 인 경우 : $a=3, b=2$
$a+b=5, a-b=-1$ 인 경우 : $a=2, b=3$

결론적으로 $a+b$ 의 값은 항상 $5$ 로 일정하며, 가능한 $(a, b)$ 의 순서쌍은 2개입니다.

[참고도 1 : 자연수 격자점에서의 조건 (나) 시각화]

Step 2

조건 (가)에 대입 및 방정식 축소

Step 1에서 얻은 결과인 $a+b = 5$ 를 조건 (가)의 방정식에 대입합니다.

(a + b) + c + d + e = 12 $$ $$ 5 + c + d + e = 12 $$ $$ \therefore c + d + e = 7

여기서 중요한 조건은 $c, d, e$ 도 여전히 자연수라는 점입니다. 즉, $c \ge 1, d \ge 1, e \ge 1$ 을 만족해야 합니다.

[참고도 2 : 전체 합 12의 구성 분할]

Step 3

치환을 통한 음이 아닌 정수해 (중복조합) 조건으로 변형

중복조합 기호 ${}_{n}H_{r}$ 을 사용하려면 미지수의 조건이 '음이 아닌 정수($0$ 이상)'여야 합니다. 현재 $c, d, e$ 는 자연수($1$ 이상)이므로, 공평하게 $1$ 씩을 미리 나누어 준다고 생각하고 식을 변형합니다.

치환 과정:
$c = X + 1$ (단, $X \ge 0$ 인 정수)
$d = Y + 1$ (단, $Y \ge 0$ 인 정수)
$e = Z + 1$ (단, $Z \ge 0$ 인 정수)

이를 $c + d + e = 7$ 에 대입합니다.

(X+1) + (Y+1) + (Z+1) = 7 $$ $$ X + Y + Z + 3 = 7 $$ $$ \therefore X + Y + Z = 4 \quad (X, Y, Z \text{는 음이 아닌 정수})

[참고도 3 : Stars and Bars (칸막이 모델) 시각화]

Step 4

경우의 수 계산 및 최종 정답 도출

방정식 $X + Y + Z = 4$ 의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 $3$ 개에서 중복을 허락하여 $4$ 개를 택하는 중복조합의 수와 같습니다.

{}_{3}H_{4} = {}_{3+4-1}C_{4} = {}_{6}C_{4} = {}_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \text{ (가지)}

최종적으로 전체 순서쌍 $(a, b, c, d, e)$ 의 개수는 $(a, b)$ 가 결정되는 경우의 수와 $(c, d, e)$ 가 결정되는 경우의 수를 곱하여 구합니다. (곱의 법칙 적용)

(전체 경우의 수) = ( $a,b$ 의 순서쌍 개수 ) $\times$ ( $c,d,e$ 의 순서쌍 개수 ) $$ \therefore 2 \times 15 = 30 $$

[참고도 4 : 곱의 법칙 트리 다이어그램 구조]

정답 : ① 30

3 이론 매칭

부정방정식의 정수해 소수의 성질과 약수 중복조합 경우의 수 (합의 법칙, 곱의 법칙)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오개념 1 : 변수의 자연수 조건을 음이 아닌 정수로 착각

문제의 서두에 명시된 '자연수 $a,b,c,d,e$' 조건을 간과하고, $c+d+e=7$ 단계에서 곧바로 중복조합 ${}_{3}H_{7}$ 로 계산하는 실수가 매우 빈번합니다.

교정 : 항상 중복조합 기호 ${}_{n}H_{r}$ 을 사용할 때는 미지수의 범위가 '0 이상(음이 아닌 정수)'인지 확인해야 합니다. 만약 자연수 조건이라면 미지수를 치환($c = X+1$)하여 0 이상으로 범위를 조정해야 합니다.

오개념 2 : 절댓값 기호 누락으로 인한 경우의 수 누락

(나) 조건 $|a^2 - b^2| = 5$ 에서 절댓값을 빼먹고 $a^2 - b^2 = 5$ 만 풀어 $a=3, b=2$ 한 가지만 도출하는 경우가 있습니다.

논리적 증명 : 절댓값의 정의에 의해 $|x| = k \ (k>0)$ 이면 $x = k$ 또는 $x = -k$ 입니다. 따라서 $a^2 - b^2 = 5$ 뿐만 아니라 $a^2 - b^2 = -5$ (즉, $b^2 - a^2 = 5$)의 경우도 반드시 고려해야 대칭성으로 인한 두 가지 해$( (3,2), (2,3) )$를 모두 찾을 수 있습니다.

5 핵심 이론 증명 : 중복조합의 유도

본 문제의 핵심 풀이 도구인 중복조합 ${}_{n}H_{r}$ 을 조합 ${}_{n+r-1}C_{r}$ 로 변환하는 논리를 칸막이 모델(Stars and Bars)을 통해 증명합니다.

[정리]

서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락하여 $r$ 개를 택하는 경우의 수 ${}_{n}H_{r}$ 은 ${}_{n+r-1}C_{r}$ 과 같다.

논리적 서술 증명 :

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r$ (단, $x_i \ge 0$ 인 정수) 의 해를 구하는 상황을 상상합니다.
이는 똑같은 공(Star) $r$ 개를 $n$ 개의 서로 다른 상자에 나누어 담는 방법의 수와 같습니다.
$n$ 개의 상자를 구분하기 위해서는 상자들 사이에 칸막이(Bar)가 필요합니다. 상자가 $n$ 개라면 칸막이는 $n-1$ 개가 필요합니다.
결과적으로 일렬로 나열된 공간에 총 (공 $r$ 개 + 칸막이 $n-1$ 개) = $n+r-1$ 개의 자리가 필요합니다.
이 $n+r-1$ 개의 자리 중에서 공이 들어갈 $r$ 개의 자리를 선택하거나(또는 칸막이가 들어갈 $n-1$ 개의 자리를 선택하면), 나머지 자리는 자동으로 결정됩니다.
따라서 조합의 수를 사용하여 ${}_{n+r-1}C_{r}$ (또는 ${}_{n+r-1}C_{n-1}$) 로 계산할 수 있습니다.

방정식 해집합 시각화 시뮬레이터

■ $c + d + e = 7$ 의 모든 자연수 해 관찰

문제의 조건 (가)를 정리하여 도출된 방정식 $c + d + e = 7$ (단, $c,d,e$ 는 자연수) 의 15가지 해를 2D 캔버스 상의 막대 그래프 형태로 순회하며 시각화합니다. 중복조합의 결과가 어떻게 분포되는지 직관적으로 확인해 보세요.

현재 해 (Index) 1 / 15

값 c

값 d

값 e

Total Sum : 7