수능 출제 분석

급수를 정적분으로 변환 및 치환적분법의 활용

Q 문제 원문

26. $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2n + n^3}$ 의 값은? [3점]

① $\ln 5$
② $\frac{\ln 5}{2}$
③ $\frac{\ln 5}{3}$
④ $\frac{\ln 5}{4}$
⑤ $\frac{\ln 5}{5}$

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 무한급수를 정적분으로 변환하는 과정을 이해하고, 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 계산하는 능력을 평가합니다.

  • 식의 분모와 분자를 적절한 거듭제곱으로 나누어 $\frac{k}{n}$ 꼴을 유도하는 대수적 조작 능력
  • 급수의 극한을 정적분 표현식으로 올바르게 바꾸는 개념적 이해 능력
  • 함수의 형태를 파악하고 치환적분법을 적용하는 계산 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

정적분으로 변환하기 위한 식의 조작

주어진 급수를 정적분으로 바꾸기 위해서는 일반항을 $\frac{k}{n}$ 에 대한 함수와 $\frac{1}{n}$ 의 곱의 형태로 만들어야 합니다. 분모의 최고차항인 $n^3$ 으로 분모와 분자를 각각 나눕니다.

$$ \frac{k^2 + 2kn}{k^3 + 3k^2n + n^3} = \frac{\frac{k^2}{n^3} + \frac{2kn}{n^3}}{\frac{k^3}{n^3} + \frac{3k^2n}{n^3} + \frac{n^3}{n^3}} $$
$$ = \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} + 2\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} $$
$$ = \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 2\left(\frac{k}{n}\right)}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \cdot \frac{1}{n} $$
[참고도 1 : 대수적 형태 변환의 구조] 분모, 분자 ÷ n³ f(k/n) 꼴 도출 그리고 남은 (1/n) 은 dx로 변환
Step 2

급수를 정적분으로 변환

Step 1에서 조작한 식을 바탕으로 급수의 극한을 정적분으로 나타냅니다. $x_k = \frac{k}{n}$ 으로 설정하면, $k$ 의 변화에 따른 증분은 $\Delta x = \frac{1}{n}$ 이 됩니다. $k=1$ 일 때 $n \to \infty$ 이면 $x \to 0$ 이고, $k=n$ 일 때 $n \to \infty$ 이면 $x \to 1$ 이므로 적분 구간은 $[0, 1]$ 입니다.

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 2\left(\frac{k}{n}\right)}{\left(\frac{k}{n}\right)^3 + 3\left(\frac{k}{n}\right)^2 + 1} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx $$
[참고도 2 : 급수의 정적분 변환 매칭] k/n x 1/n dx Σ lim ∫ 1 0
Step 3

치환적분법을 활용한 정적분 계산

정적분 $\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$ 를 계산하기 위해 치환적분법을 이용합니다. 분모를 $t$ 로 치환합니다.

$$ t = x^3 + 3x^2 + 1 $$

양변을 $x$ 에 대하여 미분하면,

$$ \frac{dt}{dx} = 3x^2 + 6x = 3(x^2 + 2x) $$ $$ \implies (x^2 + 2x)dx = \frac{1}{3} dt $$

적분 구간도 $x$ 에서 $t$ 의 구간으로 변경해야 합니다.
$x = 0$ 일 때 $t = 0^3 + 3(0)^2 + 1 = 1$
$x = 1$ 일 때 $t = 1^3 + 3(1)^2 + 1 = 5$

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx &= \int_{1}^{5} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{3} dt \\ &= \frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{1}{t} dt \\ &= \frac{1}{3} \left[ \ln |t| \right]_{1}^{5} \\ &= \frac{1}{3} (\ln 5 - \ln 1) \\ &= \frac{\ln 5}{3} \end{aligned} $$
정답 | ③ $\frac{\ln 5}{3}$

3 이론 매칭

정적분과 급수의 합 치환적분법 로그함수의 적분

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

  • 오류 : 잘못된 차수로 나누어 식 변형 실패

    학생들은 정적분으로 변환하기 위해 분모와 분자를 $n$ 의 거듭제곱으로 나눌 때, 종종 분자의 최고차항인 $n^2$ 이나 다른 차수로 나누는 실수를 합니다. 예를 들어 $n^2$ 으로 나누면 분모에 $n$ 이 남아 $\frac{k}{n}$ 꼴로 완벽하게 묶이지 않으며 수렴하지 않는 항이 발생합니다.

    올바른 논리 전개 : 급수를 정적분으로 바꾸는 핵심은 일반항을 $f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$ 형태로 완벽히 분리하는 것입니다. 이를 위해서는 식 전체의 분모, 분자를 살피고, $\frac{1}{n}$ 이 밖으로 하나 빠져나온다는 것을 고려하여 분모의 최고차항으로 나누는 것이 일반적이고 안전한 접근입니다.

5 핵심 이론 증명 | 정적분과 급수의 관계 (구분구적법)

이 문제 해결의 바탕이 되는 '정적분과 급수의 합 사이의 관계'를 상합(Upper Sum)과 하합(Lower Sum), 그리고 조임 정리(Squeeze Theorem)를 통해 엄밀하게 증명합니다.

[참고도 3 : 상합과 하합의 시각적 비교] 하합 (Lower Sum, $s_n$) a b 상합 (Upper Sum, $S_n$) a b

논리적 증명 및 원리 :

  1. 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 증가하는 함수 $f(x)$ 를 가정합니다. 이 구간을 $n$ 등분하고, 각 소구간의 길이를 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 라 합니다. 분점의 $x$ 좌표는 $x_k = a + k\Delta x$ 입니다.
  2. 각 소구간 $[x_{k-1}, x_k]$ 에서 함수가 증가하므로, 해당 구간 내의 최솟값은 $f(x_{k-1})$, 최댓값은 $f(x_k)$ 가 됩니다. 곡선 아래 실제 넓이를 $A$ 라고 하면, 구간 내 직사각형 넓이의 합인 하합($s_n$)과 상합($S_n$)은 다음과 같이 정의되며 부등식이 성립합니다.
    $$ s_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_{k-1})\Delta x \quad \le \quad A \quad \le \quad \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = S_n $$
  3. 상합에서 하합을 빼면, 대부분의 항이 교차로 소거되어 양 끝점의 함숫값 차이만 남게 됩니다.
    $$ S_n - s_n = \sum_{k=1}^{n} \{f(x_k) - f(x_{k-1})\}\Delta x = \{f(b) - f(a)\}\Delta x $$
  4. 이때 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이므로, $n \to \infty$ 로 극한을 취하면 $\Delta x \to 0$ 이 됩니다. 결과적으로 $S_n - s_n \to 0$ 이 성립합니다.
    $$ \lim_{n \to \infty} (S_n - s_n) = \lim_{n \to \infty} \{f(b) - f(a)\}\frac{b-a}{n} = 0 $$
  5. 부등식 $s_n \le A \le S_n$ 이 성립하고 $\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} S_n$ 이므로, 조임 정리(샌드위치 정리)에 의하여 하합과 상합의 극한값은 곡선 아래의 실제 넓이 $A$ (정적분)로 완벽히 수렴합니다.
    $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx $$

리만 합 (Riemann Sum) 시뮬레이터

i 직사각형 넓이 합과 정적분

함수 $f(x) = \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1}$ 의 $x \in [0, 1]$ 구간에서 $n$ 등분한 직사각형 넓이의 합(파란색 막대)이 $n$ 이 커짐에 따라 곡선 아래 실제 면적(정적분 값)에 가까워짐을 확인하세요.

분할 횟수 ($n$) n = 2
직사각형 면적 합 : 0.0000
정적분 값 : 0.5365