타원의 정의와 접하는 원의 기하학적 성질을 이용한 다각형의 넓이 추론
Q 문제 원문
26. 두 초점이 $F, F'$인 타원 $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $A$가 있다. 두 직선 $AF, AF'$에 동시에 접하고 중심이 $y$축 위에 있는 원 중 중심의 $y$좌표가 음수인 것을 $C$라 하자. 원 $C$의 중심을 $B$라 할 때 사각형 $AFBF'$의 넓이가 $72$이다. 원 $C$의 반지름의 길이는? [3점]
1 출제의도 | 핵심 평가 역량
이 문항은 타원의 기하학적 정의를 완벽히 이해하고, 점과 직선 사이의 거리(원의 반지름)를 이용하여 다각형의 넓이를 대수적으로 표현하는 능력을 평가합니다.
- 타원의 방정식으로부터 장축의 길이와 두 초점까지의 거리의 합이 일정함을 이끌어내는 능력
- 원이 두 직선에 접할 때, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리가 반지름으로 동일하다는 성질을 파악하는 능력
- 복잡한 사각형의 넓이를 두 개의 삼각형으로 분할하고, 공통된 높이(반지름)를 묶어내어 식을 간략화하는 추론 능력
2 상세 풀이 | Step-by-Step
타원의 성질을 이용한 선분의 길이의 합 도출
주어진 타원의 방정식 $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ 에서 $a^2 = 64, b^2 = 16$ 이므로, 타원의 장축이 $x$축 위에 존재합니다.
초점의 좌표를 $F(c, 0), F'(-c, 0) \,\, (c>0)$ 이라 하면,
따라서 두 초점은 $F(4\sqrt{3}, 0), F'(-4\sqrt{3}, 0)$ 입니다. 또한, 타원의 정의에 의해 타원 위의 임의의 점 $A$에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2a$와 같습니다.
접하는 원의 성질과 사각형의 분할
원 $C$가 두 직선 $AF$와 $AF'$에 동시에 접하므로, 원의 중심 $B$에서 두 직선에 내린 수선의 발까지의 거리는 모두 원 $C$의 반지름인 $r$로 동일합니다.
사각형 $AFBF'$의 넓이는 대각선 $AB$를 기준으로 두 개의 삼각형 $\triangle ABF$와 $\triangle ABF'$로 나눌 수 있습니다. 이때, 각 삼각형의 밑변을 $\overline{AF}$와 $\overline{AF'}$로 보면, 높이는 중심 $B$에서 각 직선까지의 거리인 $r$이 됩니다.
1) 삼각형 $ABF$의 넓이
$$ S_1 = \frac{1}{2} \times \overline{AF} \times r $$2) 삼각형 $ABF'$의 넓이
$$ S_2 = \frac{1}{2} \times \overline{AF'} \times r $$주의사항 : 원이 선분 내부에서 접하는지 연장선에서 접하는지와 관계없이, 점 $B$에서 각 '직선'까지의 수직 거리가 $r$이므로 삼각형의 높이로 $r$을 사용하는 것은 기하학적으로 항상 참입니다.
원의 반지름 $r$ 계산하기
Step 2에서 구한 두 삼각형의 넓이를 더하면 사각형 $AFBF'$의 전체 넓이가 됩니다. 이 식을 Step 1에서 도출한 타원의 정의($\overline{AF} + \overline{AF'} = 16$)와 결합합니다.
문제 조건에서 사각형 $AFBF'$의 넓이가 $72$라고 주어졌으므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
따라서 구하는 원 $C$의 반지름의 길이는 9 입니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
좌표 설정의 함정 (Over-complication)
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오류 : 점 $A$와 $B$의 좌표를 미지수로 두고 연립방정식을 세우려는 시도
학생들은 점 $A$의 좌표를 $(x_1, y_1)$, 점 $B$의 좌표를 $(0, -b)$로 두고, 두 직선 $AF, AF'$의 방정식을 직접 구한 뒤 점 $B$에서 두 직선까지의 거리가 같다는 식을 세우려 합니다. 이 방법은 계산 과정이 매우 복잡하여 시험 시간에 큰 부담을 주며 계산 실수를 유발합니다.
올바른 논리 전개 : 기하학적 의미 해석 기하 문항에서 복잡한 계산이 요구될 때는 도형의 정의와 성질을 이용한 우회 방법이 존재하는지 반드시 의심해야 합니다. 이 문항은 "거리의 합"과 "접점까지의 수직 거리"라는 두 가지 기하학적 성질을 연결하면, 좌표 계산 없이 단 3줄 만에 $8r = 72$ 라는 식을 이끌어낼 수 있도록 설계된 문항입니다. 넓이를 쪼개어 공통 인수로 묶어내는 아이디어가 이 문제의 핵심 열쇠입니다.
5 핵심 이론 증명 | 원외접 다각형의 넓이 공식 유도
본 풀이에서 사용된 $\text{넓이} = \frac{1}{2}r(\overline{AF} + \overline{AF'})$ 원리는, 중학교 과정에서 배우는 삼각형의 내접원 반지름과 넓이 관계의 확장된 형태입니다.
세 변의 길이가 $a, b, c$인 삼각형에 내접하는 원의 반지름이 $r$일 때, 삼각형의 넓이 $S$는 $S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$ 임을 증명합니다.
논리적 증명 과정 :
- 삼각형 $ABC$의 내심(내접원의 중심)을 $I$라고 합니다.
- 내심 $I$에서 각 꼭짓점 $A, B, C$로 선분을 그어, 전체 삼각형 $ABC$를 세 개의 작은 삼각형 $\triangle IAB, \triangle IBC, \triangle ICA$로 분할합니다.
- 원의 중심 $I$에서 세 변(접선)에 내린 수선의 길이는 모두 반지름 $r$로 동일합니다.
- 각각의 삼각형 넓이를 계산하면 다음과 같습니다.
$$ \triangle IAB = \frac{1}{2} \times c \times r $$ $$ \triangle IBC = \frac{1}{2} \times a \times r $$ $$ \triangle ICA = \frac{1}{2} \times b \times r $$
- 이 세 넓이를 더하면 전체 삼각형 넓이 $S$가 됩니다.
$$ S = \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br = \frac{1}{2}r(a + b + c) $$
- 본 수능 문항은 이 아이디어를 차용하여, 비록 닫힌 삼각형이나 내접원이 아니더라도 한 점에서 여러 직선까지의 거리가 일정할 때, 그 거리를 공통 높이로 활용할 수 있다는 기하학적 본질을 다루고 있습니다.
타원과 다각형 넓이 시뮬레이터
i 점 A의 이동에 따른 면적 관찰
아래 슬라이더를 통해 타원 위의 점 $A$를 제1사분면 내에서 이동시켜 보세요.
점 $A$가 움직이더라도 선분의 길이의 합 $\overline{AF} + \overline{AF'}$가 $16$으로 항상 일정하게 유지됨을 확인할 수 있습니다.
또한 조건에 맞게 형성된 중심 $B$와 원의 반지름 $r$에 의해 면적이 어떻게 변화하며, 넓이가 $72$가 되는 순간 $r=9$가 성립함을 시각적으로 확인하세요.