조합과 여사건의 확률을 이용한 사건의 해석
Q 문제 원문
$1$부터 $10$까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 $10$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 $3$장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상일 확률은? [3점]
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 복잡한 조건을 가진 사건의 확률을 여사건의 성질을 이용하여 효율적으로 구하는 문제 해결 능력을 평가합니다.
- 주어진 문제의 조건을 수리적으로 해석하고 분류하는 능력
- 조합을 이용하여 전체 경우의 수와 특정 사건의 경우의 수를 계산하는 연산 능력
- 직접 경우의 수를 구하는 것과 여사건을 이용하는 것의 효율성을 비교하고, 여사건의 확률을 적용하는 추론 능력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
전체 경우의 수 계산 및 접근 방법 설정
서로 다른 $10$장의 카드 중에서 임의로 $3$장을 동시에 꺼내는 조합의 수이므로 표본공간의 원소의 개수(전체 경우의 수)는 다음과 같습니다.
구하고자 하는 사건을 $A$라고 하면, 사건 $A$는 "가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상"인 경우입니다. 이를 직접 구하려면 다음과 같이 분류해야 합니다.
- 가장 작은 수가 $1, 2, 3, 4$ 인 경우 ($4$가지)
- 가장 작은 수가 $7, 8$ 인 경우 ($2$가지, $9$나 $10$이 가장 작을 수는 없음)
직접 구해야 하는 경우가 너무 많습니다. 따라서 사건 $A$의 여사건($A^c$)을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다.
여사건의 정의 및 해석
사건 $A$의 조건 "가장 작은 수가 $4$ 이하이거나 $7$ 이상"의 부정을 구하면 여사건 $A^c$이 됩니다.
카드에 적힌 수는 자연수이므로 가장 작은 수가 $5$ 또는 $6$이 되는 경우를 구하면 됩니다.
여사건의 경우의 수 계산
가장 작은 수가 $5$ 인 경우와 $6$ 인 경우로 나누어 계산합니다. 세 수 중에서 가장 작은 수가 정해지면, 나머지 두 수는 그보다 큰 수들 중에서 선택해야 합니다.
(i) 가장 작은 수가 $5$인 경우
나머지 두 수는 $5$보다 큰 $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ 의 $5$개 숫자 중에서 선택해야 합니다.
(ii) 가장 작은 수가 $6$인 경우
나머지 두 수는 $6$보다 큰 $\{7, 8, 9, 10\}$ 의 $4$개 숫자 중에서 선택해야 합니다.
두 경우는 동시에 일어날 수 없는 배반사건이므로 합의 법칙에 의해 여사건의 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
여사건의 확률 및 최종 정답 도출
앞서 구한 값들을 바탕으로 여사건 $A^c$ 의 확률 $P(A^c)$ 를 구합니다.
우리가 구하고자 하는 것은 사건 $A$ 의 확률 $P(A)$ 이므로, 여사건의 확률의 성질 $P(A) = 1 - P(A^c)$ 을 이용합니다.
정답 : ③ $\frac{13}{15}$
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
오개념 1 : "가장 작은 수" 조건 해석 오류
"가장 작은 수가 $4$ 이하"라는 조건을 "뽑힌 카드 $3$장 중 $4$ 이하인 카드가 적어도 하나 포함된다"고 오해하는 경우가 있습니다. 이렇게 해석하면 가장 작은 수는 $1,2,3,4$가 되지만 다른 수가 무엇이 오든 상관없다고 잘못 계산하게 됩니다.
교정 : "가장 작은 수가 $k$이다"라는 말은, 뽑힌 카드 중 하나는 정확히 $k$이고, 나머지 카드들은 모두 $k$보다 커야 한다는 것을 의미합니다. 즉 최솟값을 확정 지은 후 나머지 원소들의 범위를 제한해야 올바른 조합 계산이 가능합니다.
오개념 2 : 가장 작은 수가 8 이상인 경우 계산 누락
직접 경우의 수를 구할 때 사건 $B$ ("가장 작은 수가 $7$ 이상")를 생각하며, 최솟값이 $7, 8, 9, 10$ 일 때를 모두 구하려고 시도하는 학생들이 있습니다.
논리적 증명 : 카드 $3$장을 뽑아야 하므로, 가장 작은 수가 $x$일 때 남은 카드는 $x$보다 큰 카드 중에서 $2$장을 뽑아야 합니다. 가장 작은 수가 $9$라면 남은 카드는 $10$ 한 장뿐이므로 $2$장을 뽑을 수 없습니다. 따라서 최솟값은 최대 $8$까지만 가능하며, 최솟값이 $8$인 경우는 $\{8, 9, 10\}$ $1$가지뿐입니다.
5 핵심 이론 증명 : 여사건의 확률
본 문제의 계산을 획기적으로 줄여주는 여사건의 확률 정리의 유도 과정을 살펴봅니다.
표본공간 $S$의 임의의 사건 $A$에 대하여, $A$의 여사건 $A^c$ 의 확률은 $P(A^c) = 1 - P(A)$ 이다.
논리적 서술 증명 :
- 사건 $A$ 와 그 여사건 $A^c$ 은 동시에 일어날 수 없으므로 서로 배반사건입니다. 즉, $A \cap A^c = \emptyset$ 입니다.
- 또한 두 사건의 합집합은 표본공간 전체와 같습니다. 즉, $A \cup A^c = S$ 입니다.
- 확률의 덧셈정리에 의해 $P(A \cup A^c) = P(A) + P(A^c) - P(A \cap A^c)$ 이 성립합니다.
- $P(A \cap A^c) = P(\emptyset) = 0$ 이고, 표본공간 전체의 확률은 $P(S) = 1$ 이므로 다음과 같이 정리됩니다.
따라서, 구하고자 하는 사건 $A$ 의 경우의 수가 많거나 분류가 복잡할 때, 그 여사건 $A^c$ 의 경우의 수를 구하여 확률을 계산하는 것이 훨씬 효율적인 전략이 됩니다.
경우의 수 분포 시뮬레이터
■ 최솟값 $x$ 에 따른 경우의 수 분포
$10$장의 카드 중 $3$장을 뽑을 때, 선택된 세 수 중 가장 작은 수 $x$ 값에 따라 발생하는 경우의 수(조합 ${}_{10-x}C_{2}$)를 나타낸 그래프입니다. 빨간색 기둥은 우리가 계산하기 쉬운 여사건 영역을 의미합니다.
X축: 최솟값 / Y축: 경우의 수