수능 출제 분석

매개변수로 나타낸 곡선의 길이와 이차방정식의 근과 계수의 관계

Q 문제 원문

27. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t>0)$에서의 위치가 곡선 $y=x^2$과 직선 $y=t^2x-\frac{\ln t}{8}$가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 $t=1$에서 $t=e$까지 점 P가 움직인 거리는? [3점]

① $\frac{e^4}{2} - \frac{3}{8}$
② $\frac{e^4}{2} - \frac{5}{16}$
③ $\frac{e^4}{2} - \frac{1}{4}$
④ $\frac{e^4}{2} - \frac{3}{16}$
⑤ $\frac{e^4}{2} - \frac{1}{8}$

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 곡선과 직선의 교점에 대한 조건(이차방정식의 근과 계수의 관계)을 이용하여 점의 위치를 매개변수 $t$로 나타내고, 평면 위를 움직이는 점의 이동 거리 공식을 활용하여 정적분을 계산하는 능력을 평가합니다.

  • 두 함수의 그래프가 만나는 점의 좌표를 대수적으로 모델링하는 능력
  • 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 속도 벡터의 성분을 구하는 능력
  • 속력 식을 완전제곱식 꼴로 유도하여 이동 거리(정적분)를 계산하는 대수적 조작 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

근과 계수의 관계를 이용한 점 P의 위치 $(x(t), y(t))$ 도출

점 P는 곡선 $y = x^2$ 과 직선 $y = t^2x - \frac{\ln t}{8}$ 이 만나는 두 점의 중점입니다. 두 그래프의 교점의 $x$좌표는 다음 이차방정식의 실근입니다.

$$ x^2 = t^2x - \frac{\ln t}{8} \implies x^2 - t^2x + \frac{\ln t}{8} = 0 $$

이 이차방정식의 두 근을 각각 $\alpha, \beta$ 라고 하면, 교점의 좌표는 $(\alpha, \alpha^2)$ 와 $(\beta, \beta^2)$ 가 됩니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 다음이 성립합니다.

$$ \alpha + \beta = t^2 $$

두 교점의 중점이 P이므로, 점 P의 $x$좌표인 $x(t)$ 와 $y$좌표인 $y(t)$ 는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 중점은 두 교점을 연결한 직선 위에도 존재하므로 $y(t)$ 는 직선의 방정식에 $x(t)$ 를 대입하여 구하는 것이 훨씬 수월합니다.

$$ x(t) = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{t^2}{2} $$ $$ y(t) = t^2 \cdot x(t) - \frac{\ln t}{8} = t^2\left(\frac{t^2}{2}\right) - \frac{\ln t}{8} = \frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8} $$
[참고도 1 : 이차함수와 직선의 교점 및 중점의 대수적 구조] A(α, α²) B(β, β²) P(x(t), y(t)) α β (α+β)/2
Step 2

위치를 미분하여 속도 벡터 및 속력 함수 유도

Step 1에서 구한 매개변수 방정식 $(x(t), y(t))$ 를 $t$ 에 대하여 각각 미분하여 속도 성분을 구합니다.

$$ x'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{2}\right) = t $$
$$ y'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{2} - \frac{\ln t}{8}\right) = 2t^3 - \frac{1}{8t} $$

속력 $v(t)$ 는 속도 벡터의 크기이므로 $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$ 로 계산합니다. 식을 전개하면 놀랍게도 근호 안이 완전제곱식으로 정리됩니다.

$$ \begin{aligned} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} &= \sqrt{t^2 + \left(2t^3 - \frac{1}{8t}\right)^2} \\ &= \sqrt{t^2 + 4t^6 - 2(2t^3)\left(\frac{1}{8t}\right) + \frac{1}{64t^2}} \\ &= \sqrt{4t^6 + t^2 - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{64t^2}} \\ &= \sqrt{4t^6 + \frac{t^2}{2} + \frac{1}{64t^2}} \\ &= \sqrt{\left(2t^3 + \frac{1}{8t}\right)^2} \end{aligned} $$

문제의 조건에서 $t > 0$ 이므로, $2t^3 + \frac{1}{8t} > 0$ 이 성립합니다. 따라서 절댓값을 그대로 벗고 나옵니다.

$$ v(t) = 2t^3 + \frac{1}{8t} $$
[참고도 2 : 매개변수 곡선 위 점 P의 속도 벡터 분해] P(t) x'(t) = t y'(t) = 2t³ - 1/8t v(t) = √(x'² + y'²)
Step 3

정적분을 이용한 이동 거리 계산

점 P가 시각 $t=1$ 에서 $t=e$ 까지 움직인 거리 $s$ 는 속력 함수를 해당 구간에 대해 정적분하여 구합니다.

$$ \begin{aligned} s &= \int_{1}^{e} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt \\ &= \int_{1}^{e} \left( 2t^3 + \frac{1}{8t} \right) dt \\ &= \left[ \frac{2}{4}t^4 + \frac{1}{8}\ln|t| \right]_{1}^{e} \\ &= \left[ \frac{t^4}{2} + \frac{\ln t}{8} \right]_{1}^{e} \\ &= \left( \frac{e^4}{2} + \frac{\ln e}{8} \right) - \left( \frac{1^4}{2} + \frac{\ln 1}{8} \right) \\ &= \left( \frac{e^4}{2} + \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{1}{2} + 0 \right) \\ &= \frac{e^4}{2} - \frac{3}{8} \end{aligned} $$
[참고도 3 : 매개변수 곡선에서 움직인 거리와 정적분의 관계] 아주 짧은 시간 dt 동안 이동거리 ds = v(t)dt 적분(누적) 전체 이동거리 s ∫ v(t) dt
정답 | ① $\frac{e^4}{2} - \frac{3}{8}$

3 이론 매칭

이차방정식의 근과 계수의 관계 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 평면 위를 움직이는 점의 거리 다항함수 및 로그함수의 부정적분

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 분석

  • 오류 : 중점의 y좌표를 곡선 방정식에 x좌표를 대입하여 구하는 실수

    학생들은 중점의 $x$좌표 $x(t) = \frac{t^2}{2}$ 를 구한 뒤, 중점 P 역시 곡선 $y=x^2$ 위에 있을 것이라 착각하여 $y(t) = \left(\frac{t^2}{2}\right)^2 = \frac{t^4}{4}$ 로 잘못 구하는 경우가 많습니다.

    수학적 반례 및 교정 논리 : 어떤 함수 $f(x)$ 위 두 점 $A(\alpha, f(\alpha))$ 와 $B(\beta, f(\beta))$ 의 중점의 $y$좌표는 $\frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2}$ 입니다. 이것은 일반적인 곡선에 대하여 $f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ 와 결코 같지 않습니다.

    특히 $y=x^2$ 은 아래로 볼록(Convex)한 함수이므로, 젠센 부등식(Jensen's Inequality)에 의해 두 점을 이은 할선의 중점은 곡선 상의 함숫값보다 항상 큽니다. $$ \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} > \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2 \quad (\text{단, } \alpha \neq \beta) $$ 따라서 중점 P의 $y$좌표는 반드시 '원래 함수들의 $y$좌표의 평균'이거나, 직선의 방정식에 중점의 $x$좌표를 대입하여 구해야 합니다.

5 핵심 이론 증명 | 평면 위를 움직이는 점의 이동 거리

좌표평면 위를 매개변수 $t$에 따라 움직이는 점 $P(x(t), y(t))$가 시각 $t=a$ 에서 $t=b$ 까지 움직인 거리 $s$ 의 공식을 직관적으로 유도합니다.

논리적 증명 및 원리 :

  1. 시각 $t$ 가 $\Delta t$ 만큼 아주 미세하게 변할 때, 점 P의 $x$ 방향 변위와 $y$ 방향 변위는 미분의 정의에 의해 대략 다음과 같습니다.
    $$ \Delta x \approx x'(t)\Delta t, \quad \Delta y \approx y'(t)\Delta t $$
  2. 아주 짧은 시간 구간에서는 곡선 경로를 직선 경로(선분)로 근사할 수 있습니다. 피타고라스 정리에 의해 미소 이동 거리 $\Delta s$ 는 다음과 같습니다.
    $$ \Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \approx \sqrt{(x'(t)\Delta t)^2 + (y'(t)\Delta t)^2} = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \Delta t $$
  3. 시각 $t=a$ 부터 $t=b$ 까지 전체 이동 거리 $s$ 는 이러한 미소 이동 거리들의 무한한 합(정적분)으로 정의됩니다. $\Delta t \to 0$ 의 극한을 취하면 오차가 소멸하며 정확한 길이가 됩니다.
    $$ s = \lim_{\Delta t \to 0} \sum \Delta s = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt $$

* 엄밀한 증명은 평균값 정리를 이용한 다각선 길이의 극한으로 증명되지만, 직관적 이해를 돕기 위해 미분소의 기하학적 성질을 활용하였습니다.

동적 기하 시뮬레이터

i 매개변수 $t$에 따른 교점 및 자취의 변화

시각 $t$ 가 변함에 따라 직선 $y=t^2x-\frac{\ln t}{8}$ 이 움직이며, 이차함수와의 교점(빨간 점)과 그 중점 P(초록 점)가 이동합니다. 중점 P가 그리는 매개변수 곡선(초록 점선)을 시각적으로 확인하세요.
※ 캔버스를 드래그하여 이동하거나 휠/핀치 제스처로 축척을 조절할 수 있습니다.

시각 ($t$)
t = 1.00
0.5 e (≈2.718)
두 교점 (A, B)
중점 P의 위치
P의 x좌표: 0.50
P의 y좌표: 0.50