수능 출제 분석

공간도형에서의 삼수선의 정리를 활용한 삼각형의 넓이 추론

Q 문제 원문

27. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 ABCD-EFGH가 있다. 선분 AD의 중점을 M이라 할 때, 삼각형 MEG의 넓이는? [3점]

2022학년도 수능 기하 27번 문제 이미지
① $\frac{21}{2}$
② $11$
③ $\frac{23}{2}$
④ $12$
⑤ $\frac{25}{2}$

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 공간도형에서 삼수선의 정리를 이해하고, 이를 활용하여 공간에 위치한 다각형의 높이와 넓이를 논리적으로 유도하는 능력을 평가합니다.

  • 점과 평면, 직선 사이의 수직 조건을 기하학적으로 파악하는 능력
  • 정사영과 삼수선의 정리를 이용하여 공간 상의 두 점 사이의 거리를 계산하는 능력
  • 복잡한 공간 구조를 평면으로 투영하여 직각삼각형의 피타고라스 정리를 적용하는 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

점 M의 정사영과 수직 거리 파악

정육면체 ABCD-EFGH에서 점 M은 선분 AD의 중점입니다. 점 M에서 밑면 EFGH에 수선의 발을 내리면, 선분 AD가 선분 EH와 평행하므로 이 수선의 발은 선분 EH의 중점이 됩니다. 이 점을 M'이라고 합시다.

선분 MM'의 길이는 정육면체의 높이인 모서리의 길이와 같습니다.

$$ \overline{MM'} = 4 $$

이때, 선분 MM'은 밑면 EFGH를 포함하는 평면과 수직입니다. 즉, $\overline{MM'} \bot (\text{평면 EFGH})$ 가 성립합니다.

Step 2

삼수선의 정리를 이용한 높이 설정

이제 삼각형 MEG의 넓이를 구하기 위해 선분 EG를 밑변으로 삼고 높이를 구해야 합니다. 평면 EFGH 위에서 점 M'으로부터 대각선 EG에 수선의 발을 내리고 그 점을 N이라고 정의합니다.

여기서 삼수선의 정리를 적용합니다.

  • $\overline{MM'} \bot (\text{평면 EFGH})$
  • $\overline{M'N} \bot \overline{EG}$ (평면 EFGH 위에서 작도)

위 두 조건에 의하여 평면 밖의 점 M과 직선 EG 사이의 관계인 $\overline{MN} \bot \overline{EG}$ 가 성립합니다. 따라서 삼각형 MEG의 높이는 바로 선분 MN의 길이가 됩니다.

Step 3

평면 위에서의 기하학적 길이 계산 (2D 투영)

높이 $\overline{MN}$ 을 구하기 위해 먼저 평면 EFGH 상에서 $\overline{M'N}$ 의 길이를 계산해야 합니다. 밑면 평면을 좌표평면으로 두고 점 E를 원점 $(0,0)$ 으로 설정해 보겠습니다. 정육면체의 모서리가 4이므로 각 점의 좌표는 다음과 같습니다.

  • $E(0,0)$
  • $F(4,0)$
  • $H(0,4)$
  • $G(4,4)$

직선 EG는 원점과 $(4,4)$ 를 지나는 직선이므로 방정식은 $y = x$ ($x - y = 0$) 입니다. 점 M'은 선분 EH의 중점이므로 좌표는 $(0,2)$ 가 됩니다.

[참고도 : 밑면 EFGH 평면에서의 수선 M'N]

점 M'$(0,2)$ 에서 직선 $x - y = 0$ 에 이르는 거리 $\overline{M'N}$ 은 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하여 구합니다.

$$ \overline{M'N} = \frac{|0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$
Step 4

최종 넓이 계산

선분 MM'과 평면이 수직이므로, $\triangle MM'N$ 은 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리를 적용하여 삼각형 MEG의 실질적 높이인 $\overline{MN}$ 의 길이를 구합니다.

$$ \overline{MN} = \sqrt{\overline{MM'}^2 + \overline{M'N}^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$

밑변 EG의 길이는 한 변의 길이가 4인 정사각형의 대각선이므로, $\overline{EG} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ 입니다. 따라서 삼각형 MEG의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.

$$ S = \frac{1}{2} \times \overline{EG} \times \overline{MN} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 12 $$

따라서 구하는 삼각형 MEG의 넓이는 12 입니다.

3 이론 매칭

직선과 평면의 수직 위치 관계 삼수선의 정리 공간에서의 피타고라스 정리 평면좌표에서 점과 직선 사이의 거리

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

불필요한 대수적 확장의 함정

  • 오류 : 세 변의 길이를 구하여 복잡한 넓이 공식이나 벡터 외적을 사용하려는 시도

    학생들은 흔히 좌표공간을 도입하여 세 꼭짓점 M, E, G의 좌표를 모두 구한 뒤 코사인 법칙이나 헤론의 공식을 적용하려고 합니다. 이 경우 변의 길이가 $2\sqrt{5}, 6, 4\sqrt{2}$ 로 무리수가 혼합되어 산술 오류가 발생하기 쉽습니다. 또한 공간벡터의 외적(Cross Product)을 이용해 삼각형의 넓이를 단번에 구하는 방법($S = \frac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$)은 빠르지만, 이는 현행 수능 <기하> 과목의 범위를 벗어난 <심화수학> 또는 대학 과정의 내용입니다.

    올바른 논리 전개 : 공간의 직교성 활용 교육과정의 출제의도는 언제나 교과서의 핵심 정리에 있습니다. 이 문항은 "공간에서 평면으로 수선을 내리면 삼수선의 정리를 사용할 수 있다"는 강력한 기하학적 도구를 사용할 수 있는지 묻고 있습니다. 수선의 발(M', N)을 찾는 과정이 훨씬 간단하고 계산 실수를 원천적으로 차단합니다.

5 핵심 이론 증명 | 삼수선의 정리 (Theorem of Three Perpendiculars)

공간도형 문제 해결의 핵심인 삼수선의 정리를 수학적으로 엄밀하게 증명합니다.

[정리] 삼수선의 정리 제 1법칙

평면 $\alpha$ 밖의 점 $P$, 평면 $\alpha$ 위의 점 $O$, 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$ 그리고 $l$ 위의 점 $H$ 에 대하여 다음이 성립한다.
조건 : $\overline{PO} \bot \alpha$ 이고 $\overline{OH} \bot l$ 이면,
결론 : $\overline{PH} \bot l$ 이다.

논리적 증명 과정 :

  1. 직선 $l$ 은 평면 $\alpha$ 에 포함되어 있습니다.
  2. 가정에서 선분 $\overline{PO}$ 는 평면 $\alpha$ 에 수직이므로, $\overline{PO}$ 는 평면 $\alpha$ 위의 모든 직선과 수직입니다. 따라서 $\overline{PO} \bot l$ 이 성립합니다.
  3. 또한 가정에서 $\overline{OH} \bot l$ 입니다.
  4. 직선 $l$ 은 교차하는 두 직선 $\overline{PO}$ 와 $\overline{OH}$ 에 각각 수직입니다.
  5. 공간도형의 기본 성질에 의해, 한 직선이 교차하는 두 직선과 수직이면 그 지 두 직선이 결정하는 평면과 수직입니다. 따라서 직선 $l$ 은 삼각형 $POH$ 를 포함하는 평면(평면 $POH$) 전체와 수직이 됩니다.
  6. 평면 $POH$ 와 수직인 직선 $l$ 은 평면 $POH$ 위의 모든 직선과 직교합니다. 평면 $POH$ 위에 존재하는 선분 $\overline{PH}$ 역히 직선 $l$ 과 수직이 되므로, 최종적으로 $\overline{PH} \bot l$ 이 증명됩니다.

3D 공간 기하 시뮬레이터

i 삼수선의 정리 3차원 관찰

드래그하여 공간의 다양한 각도에서 도형을 관찰하세요. 스크롤로 확대/축소가 가능합니다.
붉은 점선은 M에서 평면에 내린 수선($\overline{MM'}$), 푸른 점선은 평면 위에서의 수선($\overline{M'N}$), 보라색 점선이 삼수선 정리에 의해 도출된 최종 삼각형의 높이($\overline{MN}$)입니다.

범례
$\overline{MM'}$ (공간 수선)
$\overline{M'N}$ (평면 수선)
$\overline{MN}$ (도출된 높이)