수능 출제 분석

모평균의 추정과 신뢰구간의 성질 이해

Q 문제 원문

27. 어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 $1$회 충전 주행 거리는 평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다고 한다.
이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 $100$대를 임의추출하여 얻은 $1$회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x}_1$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a \le m \le b$이다.
이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 $400$대를 임의추출하여 얻은 $1$회 충전 주행 거리의 표본평균이 $\overline{x}_2$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간이 $c \le m \le d$이다.
$\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$ 이고 $a=c$일 때, $b-a$의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 $\rm{km}$이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $P(|Z| \le 1.96)=0.95$, $P(|Z| \le 2.58)=0.99$로 계산한다.) [3점]

① $5.88$
② $7.84$
③ $9.80$
④ $11.76$
⑤ $13.72$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 표본의 크기와 신뢰도에 따른 모평균의 신뢰구간을 정확히 설정하고, 주어진 조건식을 통해 미지수를 추론하는 능력을 평가합니다.

  • 표본의 크기가 다를 때 표본평균의 표준편차가 어떻게 변하는지 이해하는 능력
  • 신뢰구간의 상한과 하한을 나타내는 공식을 암기하고 정확하게 적용하는 연산 능력
  • 두 신뢰구간의 하한이 같다는 기하학적, 대수적 의미를 파악하여 모표준편차를 도출하는 문제 해결 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

첫 번째 표본에 대한 신뢰구간 설정

모집단의 분포가 $N(m, \sigma^2)$을 따를 때, 크기가 $n_1 = 100$인 표본을 임의추출했습니다. 이때 표본평균을 $\overline{x}_1$이라고 하면, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 다음과 같이 계산됩니다. 문제 조건에서 $P(|Z| \le 1.96) = 0.95$로 주어졌으므로 신뢰도 상수는 $1.96$을 사용합니다.

$$ \overline{x}_1 - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}} \le m \le \overline{x}_1 + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}} $$

$\sqrt{100} = 10$ 이므로 수식을 정리하고 문제에서 주어진 구간 $a \le m \le b$와 비교하면 다음과 같습니다.

$$ a = \overline{x}_1 - 1.96 \times \frac{\sigma}{10} = \overline{x}_1 - 0.196\sigma $$ $$ b = \overline{x}_1 + 1.96 \times \frac{\sigma}{10} = \overline{x}_1 + 0.196\sigma $$
[참고도 1 : $\overline{x}_1$ 기준 95% 신뢰구간] x̄₁ a x̄₁ - 0.196σ b x̄₁ + 0.196σ 95% 신뢰구간
Step 2

두 번째 표본에 대한 신뢰구간 설정

같은 방법으로 크기가 $n_2 = 400$인 표본의 표본평균 $\overline{x}_2$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간을 설정합니다. 주어진 조건 $P(|Z| \le 2.58) = 0.99$에 의해 신뢰도 상수는 $2.58$을 사용합니다.

$$ \overline{x}_2 - 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{400}} \le m \le \overline{x}_2 + 2.58 \times \frac{\sigma}{\sqrt{400}} $$

$\sqrt{400} = 20$ 이므로 수식을 정리하여 주어진 구간 $c \le m \le d$와 매칭합니다.

$$ c = \overline{x}_2 - 2.58 \times \frac{\sigma}{20} = \overline{x}_2 - 0.129\sigma $$ $$ d = \overline{x}_2 + 2.58 \times \frac{\sigma}{20} = \overline{x}_2 + 0.129\sigma $$
[참고도 2 : $\overline{x}_2$ 기준 99% 신뢰구간] x̄₂ c x̄₂ - 0.129σ d x̄₂ + 0.129σ 99% 신뢰구간
Step 3

주어진 조건을 이용한 모표준편차 도출

문제의 핵심 조건인 $a = c$ 와 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$ 를 연립하여 미지수 $\sigma$ 를 구합니다. 앞서 구한 $a$와 $c$의 식을 등식으로 놓습니다.

$$ \overline{x}_1 - 0.196\sigma = \overline{x}_2 - 0.129\sigma $$

$\sigma$가 포함된 항을 우변으로, 표본평균 항을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

$$ \overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 0.196\sigma - 0.129\sigma $$ $$ \overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 0.067\sigma $$

조건에서 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$ 이므로 대입합니다.

$$ 1.34 = 0.067\sigma $$ $$ \therefore \sigma = \frac{1.34}{0.067} = 20 $$
[참고도 3 : 두 구간의 하한점(a=c) 일치 시각화] a = c x̄₁ x̄₂ 0.196σ 0.129σ x̄₁ - x̄₂ = 1.34
Step 4

신뢰구간의 길이 계산 및 정답 도출

문제에서 구하고자 하는 값은 첫 번째 신뢰구간의 길이인 $b - a$ 입니다. $a$와 $b$의 식을 이용하여 식을 세우고, 앞서 구한 $\sigma = 20$을 대입합니다.

$$ b - a = (\overline{x}_1 + 0.196\sigma) - (\overline{x}_1 - 0.196\sigma) $$ $$ b - a = 2 \times 0.196\sigma = 0.392\sigma $$

대입하여 최종 계산을 수행합니다.

$$ b - a = 0.392 \times 20 = 7.84 $$
[참고도 4 : 신뢰구간 길이의 기하학적 의미] a x̄₁ b 길이 (b-a) = 7.84

정답 : ② $7.84$

3 이론 매칭

모평균의 추정 신뢰구간 표준정규분포 표본평균의 분포

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오개념 1 : 표본의 크기 $n$을 제곱근 처리하지 않는 실수

신뢰구간 공식에서 표본평균의 표준편차인 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 대신, 모표준편차 $\sigma$나 $\frac{\sigma}{n}$을 대입하는 실수가 매우 빈번합니다.

교정 : 표본평균 $\overline{X}$의 분산은 $V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 입니다. 따라서 그 표준편차는 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 이 됨을 항상 명심해야 합니다. 이 문제에서 $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{400}=20$ 으로 정확히 나누어 주어야 합니다.

오개념 2 : $\overline{x}_1$ 과 $\overline{x}_2$ 를 같은 값으로 취급하는 실수

같은 모집단에서 추출했다고 하여 "표본평균"이 동일할 것이라고 착각하여 $\overline{x}_1 = \overline{x}_2$ 로 놓고 식을 전개하면 모순에 빠지게 됩니다.

논리적 증명 : 표본평균은 추출된 "표본들"의 평균이므로 추출할 때마다 값이 달라지는 확률변수입니다. 문제에서도 서로 다른 두 표본을 추출했음을 명시하고, 그 두 값의 차이가 $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 1.34$ 라고 명확한 조건을 부여하여 두 값이 다름을 보여주고 있습니다.

5 핵심 이론 증명 : 신뢰구간의 유도

문제 해결에 직접적으로 사용된 모평균 $m$에 대한 신뢰구간 공식이 어떻게 도출되는지 논리적으로 서술합니다.

  • 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 을 따릅니다.
  • 이를 표준화한 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 은 표준정규분포 $N(0, 1)$ 을 따릅니다.
  • 신뢰도 $95\%$를 요구할 때, $P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$ 가 성립합니다. 이 식의 $Z$ 자리에 위에서 구한 식을 대입합니다.
$$ P\left(-1.96 \le \frac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96\right) = 0.95 $$
  • 괄호 안의 부등식 각 변에 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 을 곱합니다.
    • $$ -1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \overline{X} - m \le 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
  • 각 변에서 $\overline{X}$ 를 뺍니다.
    • $$ -\overline{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le -m \le -\overline{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$
  • 각 변에 $-1$ 을 곱하고 부등호의 방향을 바꿉니다.
    • $$ \overline{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

위 과정을 통해 모평균 $m$이 해당 구간 안에 포함될 확률이 $0.95$임을 수학적으로 증명할 수 있으며, 이 공식을 활용하여 신뢰구간을 설정하게 됩니다.

신뢰구간 변화 시뮬레이터

■ 변수에 따른 곡선 및 구간의 변화

표본의 크기($n$)와 신뢰도를 조절해 보세요. 캔버스 영역 안에서 마우스 드래그(이동) 및 휠(확대/축소)이 가능합니다.

신뢰도 선택 (k 값)
표본의 크기 (n) 100
표본평균의 표준편차 ($\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)
2.00
신뢰구간의 길이 ($2k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)
7.84