합성함수의 미분법과 극대·극소의 판정
28. 함수 $f(x)=6\pi(x-1)^2$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$ g(x) = 3f(x) + 4\cos(f(x)) $$ 라 하자. $0 < x < 2$ 에서 함수 $g(x)$ 가 극소가 되는 $x$ 의 개수는? [4점]
이 문항은 합성함수의 미분법을 이용하여 도함수를 구하고, 도함수의 부호 변화를 통해 극대와 극소를 판정하는 추론 능력을 평가합니다. 겉함수와 속함수의 상호작용을 기하학적, 대수적으로 정확히 이해해야 합니다.
극값을 찾기 위해 먼저 $g(x)$ 를 $x$ 에 대하여 미분합니다. 합성함수의 미분법을 적용합니다.
극값이 될 수 있는 후보(임계점)는 $g'(x) = 0$ 인 지점이므로 두 가지 경우로 나뉩니다.
이차함수 $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 최솟값 $0$ 을 가지며, $x=0, 2$ 에서 각각 $6\pi$ 의 값을 가집니다.
계산의 편의를 위해 $f(x) = y$ 로 치환하고, 겉함수 $h(y) = 3y + 4\cos y$ 를 정의합니다.
$g(x) = h(f(x))$ 가 되며, $h'(y) = 3 - 4\sin y$ 입니다. $0 < x < 2$ 일 때 $0 \le y < 6\pi$ 입니다.
$h'(y) = 0 \iff \sin y = \frac{3}{4}$ 인 $y$ 값을 찾아야 합니다. $0 \le y < 6\pi$ 구간은 주기 $2\pi$ 가 3번 반복되는 구간입니다. 제1사분면의 근을 $\alpha$ $(0 < \alpha < \frac{\pi}{2})$ 라 하면, 한 주기 내에서 근은 $\alpha$ 와 $\pi - \alpha$ 두 개 존재합니다.
이 점들에서 $h(y)$ 가 극대인지 극소인지 판정하기 위해 이계도함수 $h''(y) = -4\cos y$ 를 확인합니다.
이제 $x$ 의 범위를 $x=1$ 을 기준으로 나누어 $g'(x) = f'(x)h'(y)$ 의 부호 변화($-$ 에서 $+$ 로 바뀌는 지점)를 추적합니다.
이 구간에서 $f(x)$ 는 $6\pi$ 에서 $0$ 으로 감소합니다. 따라서 $f'(x) < 0$ 입니다.
$g'(x) = (-) \times h'(y)$ 가 되므로, $g'(x)$ 가 $-$ 에서 $+$ 로 변하려면, $h'(y)$ 가 $+$ 에서 $-$ 로 변해야 합니다.
하지만 $y$ 가 감소하는 방향으로 움직이므로, 실제 $y$ 축을 거꾸로 스캔하는 것과 같습니다.
결론적으로, $y$ 값이 작아지는 방향을 고려할 때 $h(y)$ 의 극소가 $g(x)$ 의 극소로 그대로 유지됩니다.
(자세한 증명은 하단 핵심 이론 참조)
해당 구간에서 $y$ 는 $y_6, y_5, y_4, y_3, y_2, y_1$ 을 차례로 지나며, 이 중 극소를 만드는 $y$ 값은 $y_6, y_4, y_2$ 의 3개입니다.
$x=1$ 일 때 $f'(1)=0$ 이므로 $g'(1)=0$ 입니다. 극값을 판정하기 위해 $x=1$ 좌우의 부호를 봅니다.
$x \to 1$ 일 때, $y = f(x) \to 0^+$ 입니다. $y$ 가 0에 매우 가까우면 $\sin y < \frac{3}{4}$ 이므로 $h'(y) > 0$ 입니다.
- $x < 1$ 일 때: $f'(x) < 0$, $h'(y) > 0 \implies g'(x) < 0$
- $x > 1$ 일 때: $f'(x) > 0$, $h'(y) > 0 \implies g'(x) > 0$
도함수의 부호가 $-$ 에서 $+$ 로 변하므로 $x=1$ 에서 극소 (1개)입니다.
이 구간에서 $f(x)$ 는 $0$ 에서 $6\pi$ 로 증가합니다. 따라서 $f'(x) > 0$ 입니다.
$g'(x) = (+) \times h'(y)$ 이고 $y$ 도 증가하는 방향이므로, $h(y)$ 의 증감이 $g(x)$ 의 증감과 완벽히 일치합니다.
$y$ 가 $y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6$ 을 차례로 지날 때, 극소를 만드는 $y$ 값은 $y_2, y_4, y_6$ 의 3개입니다.
따라서 극소가 되는 $x$ 의 총 개수는 $3 + 1 + 3 = 7$ 개 입니다.
정답 | ② 7오류 1 : $f'(x)=0$ 이 되는 점 $x=1$ 을 누락하는 실수
학생들은 흔히 $g'(x)=0$ 의 근을 찾을 때 괄호 안의 식 $3-4\sin(f(x))=0$ 만 신경 쓰다가 앞에 곱해진 $f'(x)=0$ 의 근을 놓칩니다. 이 경우 정답을 6으로 선택하게 되어 치명적 오답에 빠집니다.
오류 2 : 속함수가 감소할 때 겉함수의 극대/극소가 반전될 것이라는 착각
$0 < x < 1$ 구간에서 $f(x)$ 가 감소하기 때문에, $h(y)$ 의 극대가 $g(x)$ 의 극소로 바뀔 것이라 짐작하여 $y_1, y_3, y_5$ 를 세는 경우가 많습니다.
정리 : 함수 $g(x) = h(f(x))$ 에 대하여, $f(x)$ 가 $x=c$ 근방에서 단조 감소하고 $f(c) = a$ 라 하자. $h(y)$ 가 $y=a$ 에서 극소이면, $g(x)$ 도 $x=c$ 에서 극소이다.
수학적 증명 (도함수의 부호 변화) :
i 속함수와 겉함수의 상관관계 시각화
위쪽 패널은 $y = f(x)$ 이며 수평선은 $h'(y)=0$ 을 만드는 임계 $y$값들을 나타냅니다.
아래쪽 패널은 최종 합성함수 $y = g(x)$ 의 그래프입니다. 슬라이더를 움직여 $x$ 에 따른 두 그래프 상의 점의 위치를 비교하며 7개의 극소점(빨간 점)을 확인하세요.