2022CSAT_No28_Geo : 2022학년도 수능 수학 기하 28번 해설

수능 출제 분석

포물선의 정의와 직선의 성질을 융합한 추론

Q 문제 원문

28. 두 양수 $a$, $p$ 에 대하여 포물선 $(y-a)^2 = 4px$ 의 초점을 $\text{F}_1$ 이라 하고, 포물선 $y^2 = -4x$ 의 초점을 $\text{F}_2$ 라 하자. 선분 $\text{F}_1\text{F}_2$ 가 두 포물선과 만나는 점을 각각 $\text{P}$, $\text{Q}$ 라 할 때, $\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = 3$, $\overline{\text{PQ}} = 1$ 이다. $a^2 + p^2$ 의 값은? [4점]

① $6$

② $\frac{25}{4}$

③ $\frac{13}{2}$

④ $\frac{27}{4}$

⑤ $7$

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 포물선의 수학적 정의를 정확히 이해하고, 이를 선분의 길이 비율 및 직선의 성질과 연결하여 미지수를 추론하는 능력을 평가합니다.

주어진 방정식으로부터 포물선의 초점과 준선을 정확하게 도출하는 능력
포물선 위의 점에서 초점까지의 거리가 준선까지의 거리와 같다는 정의를 대수적 식으로 표현하는 능력
직선 위 선분 길이의 비를 $x$ 축 또는 $y$ 축으로 정사영한 좌표의 차이 비율로 변환(닮음의 성질)하여 해석하는 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

두 포물선의 초점과 준선 파악

먼저 주어진 두 포물선의 방정식으로부터 각각의 초점과 준선을 구합니다.

첫 번째 포물선 $C_1 : (y-a)^2 = 4px$
기본형 $y^2 = 4px$ 를 $y$ 축 방향으로 $a$ 만큼 평행이동한 형태입니다. $p > 0$ 이므로 우측으로 열린 형태입니다.
$\implies$ 초점 $\text{F}_1(p, a)$, 준선 $l_1 : x = -p$
두 번째 포물선 $C_2 : y^2 = -4x$
$4 \times (-1) \times x$ 이므로 $p' = -1$ 이며 좌측으로 열린 형태입니다.
$\implies$ 초점 $\text{F}_2(-1, 0)$, 준선 $l_2 : x = 1$

Step 2

선분 $\text{F}_1\text{F}_2$ 위의 점의 순서 및 길이 분할

선분 $\text{F}_1\text{F}_2$ 와 두 포물선이 만나는 점을 $\text{P}$, $\text{Q}$ 라고 했습니다. 포물선의 열린 방향을 고려할 때, $\text{F}_1(p, a)$ ($p>0$) 는 포물선 $C_2$ 의 외부에 있고, $\text{F}_2(-1, 0)$ 는 포물선 $C_1$ 의 외부에 위치합니다. 따라서 $\text{F}_2$ 에서 $\text{F}_1$ 로 가는 선분 상에서 $C_2$ 와 먼저 만나고 그 다음 $C_1$ 과 만납니다.

즉, 네 점은 직선 상에 $\text{F}_2 - \text{Q} - \text{P} - \text{F}_1$ 의 순서로 존재합니다. 선분의 길이는 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = \overline{\text{F}_2\text{Q}} + \overline{\text{QP}} + \overline{\text{PF}_1} = 3

문제 조건에서 $\overline{\text{PQ}} = 1$ 이므로, 다음 관계를 도출할 수 있습니다.

\overline{\text{F}_2\text{Q}} + \overline{\text{PF}_1} = 3 - 1 = 2

Step 3

포물선의 정의 적용 및 대수적 식 유도

점 $\text{P}(x_p, y_p)$ 는 포물선 $C_1$ 위의 점이고, $\text{Q}(x_q, y_q)$ 는 포물선 $C_2$ 위의 점입니다. 포물선의 정의에 의해 "포물선 위의 점으로부터 초점까지의 거리는 그 점에서 준선까지의 거리와 같다"를 수식으로 변환합니다.

[참고도 : 포물선의 정의를 이용한 거리 관계 (개념 묘사)]

$\overline{\text{PF}_1}$ 은 점 $\text{P}$ 에서 $C_1$ 의 준선 $x = -p$ 까지의 수직 거리와 같습니다.
$\implies \overline{\text{PF}_1} = x_p - (-p) = x_p + p$
$\overline{\text{QF}_2}$ 은 점 $\text{Q}$ 에서 $C_2$ 의 준선 $x = 1$ 까지의 수직 거리와 같습니다. ($x_q < 1$)
$\implies \overline{\text{QF}_2} = 1 - x_q$

Step 2에서 구한 $\overline{\text{F}_2\text{Q}} + \overline{\text{PF}_1} = 2$ 식에 위 값들을 대입합니다. ($\overline{\text{F}_2\text{Q}} = \overline{\text{QF}_2}$)

(1 - x_q) + (x_p + p) = 2 \implies x_p - x_q + p + 1 = 2 \implies x_p - x_q = 1 - p \quad \cdots \text{(식 1)}

Step 4

직선의 닮음비와 x좌표 차이 분석

네 점 $\text{F}_2, \text{Q}, \text{P}, \text{F}_1$ 은 한 직선 위에 있습니다. 직선 위 선분의 길이 비율은 직각삼각형의 닮음(정사영)에 의해 $x$ 좌표의 차이 비율과 동일하게 유지됩니다.

전체 선분 $\text{F}_1\text{F}_2$ 의 길이 : $3$
$\text{F}_1$ 과 $\text{F}_2$ 의 $x$ 좌표 차이 : $p - (-1) = p + 1$
선분 $\text{PQ}$ 의 길이 : $1$
$\text{P}$ 와 $\text{Q}$ 의 $x$ 좌표 차이 : $x_p - x_q$

비례식을 세우면 $\overline{\text{F}_1\text{F}_2} : \overline{\text{PQ}} = (\text{F}_1, \text{F}_2 \text{ 의 } x \text{좌표 차이}) : (\text{P}, \text{Q} \text{ 의 } x \text{좌표 차이})$ 가 성립합니다.

3 : 1 = (p + 1) : (x_p - x_q) \implies x_p - x_q = \frac{p + 1}{3} \quad \cdots \text{(식 2)}

Step 5

상수 계산 및 최종 정답 도출

(식 1)과 (식 2)를 연립하여 양수 $p$ 의 값을 계산합니다.

1 - p = \frac{p + 1}{3} \implies 3 - 3p = p + 1 \implies 4p = 2 \implies p = \frac{1}{2}

이제 초점 $\text{F}_1(\frac{1}{2}, a)$ 와 $\text{F}_2(-1, 0)$ 사이의 거리가 $3$ 임을 이용하여 $a^2$ 의 값을 구합니다.

\overline{\text{F}_1\text{F}_2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - (-1)\right)^2 + (a - 0)^2} = 3 $$ $$ \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + a^2} = 3 \implies \frac{9}{4} + a^2 = 9 $$ $$ a^2 = 9 - \frac{9}{4} = \frac{36}{4} - \frac{9}{4} = \frac{27}{4}

최종적으로 구하고자 하는 값 $a^2 + p^2$ 를 계산합니다.

a^2 + p^2 = \frac{27}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} + \frac{1}{4} = \frac{28}{4} = 7

따라서 $a^2 + p^2$ 의 값은 7 입니다.

3 이론 매칭

포물선의 정의 포물선의 초점과 준선의 방정식 두 점 사이의 거리 공식 직선 위 선분 분할의 성질 (닮음)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

거리 방정식 설정에서의 부호 오류와 비례 오개념

오류 : 좌표의 차이를 길이로 변환할 때 절대값이나 부호를 무시하는 경우

포물선의 정의에 따라 거리를 식으로 세울 때, 점 $\text{Q}(x_q, y_q)$ 에서 준선 $x = 1$ 까지의 거리를 단순히 $x_q - 1$ 로 작성하여 음수 값이 나오게 하는 실수가 빈번합니다. $\text{Q}$ 의 $x$ 좌표는 준선 $x=1$ 보다 작으므로, 물리적 거리(양수)는 반드시 $1 - x_q$ 가 되어야 합니다.

올바른 논리 전개 : 거리는 항상 양수 수직선 또는 좌표평면 상에서 축과 평행한 두 점 사이의 거리는 (큰 좌표값) - (작은 좌표값) 으로 계산합니다. 준선의 위치가 점의 우측에 있다면 $(준선 좌표) - (점의 좌표)$ 가 거리입니다.
오류 : 교점 $\text{P}$, $\text{Q}$ 의 좌표를 직접 구하려는 시도

직선 $\text{F}_1\text{F}_2$ 의 방정식을 $y = m(x+1)$ 로 세우고 포물선 방정식에 대입하여 $\text{P}, \text{Q}$ 의 근을 근의 공식으로 직접 찾으려는 대수적 시도는 이차방정식의 복잡성을 크게 증가시켜 시간 부족 및 계산 실수를 유발합니다.

핵심 전략 : 정의와 기하적 성질 우선 적용 이차곡선 문제에서 초점을 지나는 직선이 등장하면, 항상 이차곡선의 정의(초점과 준선까지의 거리)를 가장 먼저 떠올리고, 이를 선분의 길이 관계식으로 연결하는 것이 최우선 접근법입니다. 좌표는 필요할 때 부분적인 차이(예: $x_p - x_q$)만 구하는 것이 효율적입니다.

5 핵심 이론 증명 | 포물선의 정의와 준선의 성질

기본형 $y^2 = 4px$ 에서 어떻게 초점 $F(p,0)$ 과 준선 $x=-p$ 가 유도되는지 확인합니다.

[정의] 포물선 (Parabola)

평면 위의 한 정점(초점)과 그 점을 지나지 않는 한 정직선(준선)에 이르는 거리가 같은 점들의 자취.

[참고도 : 포물선의 정의와 수식 유도]

수학적 유도 과정 :

초점을 $F(p, 0)$, 준선을 $l : x = -p$ ($p>0$) 라고 가정합니다.
포물선 위의 임의의 점을 $P(x, y)$ 라 합니다.
점 $P$ 에서 초점 $F$ 까지의 거리 : $\overline{PF} = \sqrt{(x - p)^2 + y^2}$
점 $P$ 에서 준선 $l$ 까지의 거리 : $P$ 에서 $l$ 에 내린 수선의 발을 $H$ 라 하면, $H$ 의 좌표는 $(-p, y)$ 이므로 $\overline{PH} = |x - (-p)| = |x + p|$
포물선의 정의에 의해 $\overline{PF} = \overline{PH}$ 이므로, $\sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x + p|$ 가 성립합니다.
양변을 제곱하여 정리합니다.
$(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2$
$x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2$
$y^2 = 4px$
따라서 주어진 정의를 만족하는 점들의 자취 방정식은 $y^2 = 4px$ 임이 증명됩니다. 이 문항에서는 이를 역으로 활용하여, 방정식에서 초점과 준선까지의 거리 관계식을 이끌어냅니다.

2D 좌표평면 기하 뷰어

i 포물선과 직선의 기하학적 융합 관찰

문제에서 도출된 실제 값($p=0.5, a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$)을 바탕으로 렌더링 된 정밀한 좌표평면 그래프입니다.
파란색 선과 붉은색 선은 각 교점 $\text{P}, \text{Q}$ 에서 준선과 초점으로 향하는, 길이가 동일한 선분 쌍을 시각적으로 나타냅니다.

준선과 수선 보이기

범례

$C_1 : (y-a)^2=4px$

$C_2 : y^2=-4x$

직선 $\text{F}_1\text{F}_2$