삼각함수의 극한과 도형적 활용
Q 문제 원문
29.
그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $AB$ 위에 두 점 $P, Q$를 $\angle PAB = \theta$, $\angle QBA = 2\theta$가 되도록 잡고, 두 선분 $AP, BQ$의 교점을 $R$라 하자.
선분 $AB$ 위의 점 $S$, 선분 $BR$ 위의 점 $T$, 선분 $AR$ 위의 점 $U$를 선분 $UT$가 선분 $AB$에 평행하고 삼각형 $STU$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $AR, QR$과 호 $AQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 $STU$의 넓이를 $g(\theta)$라 할 때,
$$ \displaystyle \lim_{\theta \to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta \times f(\theta)} = \frac{q}{p} \sqrt{3} $$
이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $0 < \theta < \frac{\pi}{6}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
1 출제의도 | 핵심 평가 역량
이 문항은 도형에 주어진 기하학적 조건들을 삼각함수를 이용하여 식으로 표현하고, $\theta \to 0$일 때의 극한값을 계산하는 능력을 평가합니다. 주로 사인법칙과 도형의 닮음을 활용하여 복잡한 길이를 식 하나로 묶어내는 추론 능력을 필요로 합니다.
- 사인법칙을 이용한 삼각형 내부의 변의 길이 표현
- 부채꼴과 직각삼각형을 활용한 미세한 면적 $f(\theta)$ 계산 및 근사
- 정삼각형의 닮음비를 활용한 한 변의 길이 $g(\theta)$ 유도
- 삼각함수의 극한 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 성질 적용
2 상세 풀이 | Step-by-Step
사인법칙을 이용한 삼각형 $ARB$ 해석
선분 $AB$는 길이가 $2$인 지름입니다. 삼각형 $ARB$에서 한 변의 길이 $AB=2$와 양 끝각이 주어져 있으므로, 사인법칙을 통해 선분 $AR$과 $BR$의 길이를 구할 수 있습니다.
$\triangle ARB$에서 내각의 합은 $\pi$이므로, $\angle ARB = \pi - (\theta + 2\theta) = \pi - 3\theta$ 입니다.
따라서 두 선분의 길이는 다음과 같이 표현됩니다. $$ AR = \frac{2\sin(2\theta)}{\sin(3\theta)}, \quad BR = \frac{2\sin(\theta)}{\sin(3\theta)} $$
도형의 분할 및 넓이 $f(\theta)$ 분석
문제에서 구하고자 하는 $f(\theta)$는 "선분 $AR$, $QR$과 호 $AQ$로 둘러싸인 부분의 넓이"입니다. 이 도형은 두 가지 부분으로 나눌 수 있습니다.
① 직각삼각형 $AQR$ 의 넓이
② 호 $AQ$와 현 $AQ$로 둘러싸인 활꼴의 넓이
직각삼각형 $AQB$에서 빗변 $AB=2$이므로, $AQ = 2\sin(2\theta)$이고 $BQ = 2\cos(2\theta)$입니다.
따라서 직각삼각형 $AQR$의 밑변 $QR$의 길이는 다음과 같습니다.
활꼴 $AQ$의 넓이는 부채꼴 $OAQ$에서 삼각형 $OAQ$를 뺀 넓이입니다. 중심각 $\angle QOA = 4\theta$ 이므로,
$\text{(활꼴 넓이)} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot (4\theta) - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(4\theta) = 2\theta - \frac{1}{2}\sin(4\theta)$ 입니다.
$\theta \to 0$ 일 때의 근사(Taylor Series 의 1차항)를 적용해보면, $\sin(\theta) \approx \theta$ 이고 $\cos(\theta) \approx 1$ 이므로,
$QR \approx 2 - \frac{2\theta}{3\theta} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$AQ \approx 4\theta$
$\text{활꼴 넓이} \approx 2\theta - \frac{1}{2}(4\theta) = 0$ (사실 3차항에 비례하여 $O(\theta^3)$로 매우 작아 무시됨)
따라서 $f(\theta)$의 1차 근사식은 다음과 같습니다.
정삼각형 $STU$의 해석 및 $g(\theta)$ 유도
정삼각형 $STU$의 한 변의 길이를 $a$라고 둡니다. 점 $S$는 선분 $AB$ 위에 있고 선분 $UT$는 $AB$에 평행하므로, 정삼각형의 높이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 가 됩니다.
점 $R$에서 밑변 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 그 높이를 $h$라고 하면, 직각삼각형 $RAH$에서 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
이제 닮음을 이용합니다. 삼각형 $RUT$와 삼각형 $RAB$는 $UT \parallel AB$이므로 닮음입니다.
선분 $UT$의 길이는 $a$이며, 삼각형 $RUT$의 높이는 $(h - \frac{\sqrt{3}}{2}a)$ 입니다. (전체 높이에서 정삼각형 높이를 뺀 부분)
닮음비 적용
밑변 대 높이의 비는 닮음인 두 삼각형에서 유지됩니다. $$ \frac{UT}{\triangle RUT\text{의 높이}} = \frac{AB}{h} \implies \frac{a}{h - \frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{2}{h} $$
식을 전개하여 $a$에 대해 정리합니다. $$ a \cdot h = 2h - \sqrt{3}a \implies a(h + \sqrt{3}) = 2h \implies a = \frac{2h}{h + \sqrt{3}} $$
$\theta \to 0$ 근사를 취해봅니다.
$h \approx \frac{2(2\theta)(\theta)}{3\theta} = \frac{4}{3}\theta$. 극한에서 $h \to 0$ 이므로 분모의 $h+\sqrt{3} \approx \sqrt{3}$으로 근사됩니다.
따라서 $a \approx \frac{2(\frac{4}{3}\theta)}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}\theta$ 입니다.
정삼각형의 넓이 $g(\theta)$는 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 이므로:
최종 극한값 계산 및 정답 도출
구해낸 근사식을 원래의 극한 식에 대입합니다.
결과적으로 $\frac{q}{p} = \frac{2}{9}$ 이므로 $p=9, q=2$ 입니다.
서로소인 자연수 조건을 만족하며, $p+q = 11$ 이 됩니다.
정답 | ③ 113 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
학생들이 자주 범하는 기하학적 오개념
-
오류 1 : $f(\theta)$의 영역을 단순 삼각형으로 착각하는 실수
학생들은 흔히 "선분 AR, QR과 호 AQ로 둘러싸인 부분"이라는 문구를 보고, 곡선인 '호 AQ'의 존재를 간과한 채 직각삼각형 $AQR$의 넓이만 구하고 넘어가는 실수를 범합니다.
수학적 교정 : 실제 수식 전개 과정에서 활꼴의 넓이는 $\theta^3$ 오더를 가지므로, 이 문제에서는 운 좋게도 $\theta \to 0$ 의 1차 근사에서 무시되어 답에는 영향을 주지 않았습니다. 하지만 서술형 문항이나 고차항이 필요한 문제에서는 이러한 곡선부(활꼴) 넓이의 누락이 감점의 원인이 됩니다. 항상 정적분이나 부채꼴 넓이 공식을 통해 곡선 경계면의 면적을 엄밀히 분리하여 더해야 합니다. -
오류 2 : 근사 과정에서 차수의 불일치 유발
$\sin\theta \approx \theta$ 근사는 편리하지만, 덧셈/뺄셈 기호가 있을 때는 최고차항이 상쇄되어 0이 되는 현상을 조심해야 합니다.
5 핵심 이론 증명 | $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 의 기하학적 유도
이 문제의 근본적인 계산 기초가 되는 삼각함수 극한 성질의 유도입니다. 면적 비교를 통한 조임 정리(Squeeze Theorem)를 적용하며, 우극한과 좌극한을 나누어 엄밀하게 증명합니다.
1. 우극한 ($\displaystyle \lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x}$) 증명
- 반지름이 $1$이고 중심각이 $x$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) 인 제1사분면의 부채꼴 $OAB$를 가정합니다.
- 점 $A(1,0)$에서의 접선과 선분 $OB$의 연장선이 만나는 점을 $T$라고 하면 세 도형의 넓이 크기는 다음과 같습니다.
$\triangle OAB \text{ 넓이} < \text{부채꼴 } OAB \text{ 넓이} < \triangle OAT \text{ 넓이}$ - 각 넓이를 삼각함수로 표현하면:
$\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin x < \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x < \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x$ - $\frac{1}{2}$을 약분하고 역수를 취하면 부등호 방향이 바뀝니다.
$0 < \sin x < x < \tan x \implies \frac{1}{\sin x} > \frac{1}{x} > \frac{1}{\tan x}$ - 모든 변에 양수 $\sin x$ 를 곱합니다.
$1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$ - $x \to 0+$ 일 때 $\displaystyle \lim_{x \to 0+} \cos x = 1$ 이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 성립합니다.
2. 좌극한 ($\displaystyle \lim_{x \to 0-} \frac{\sin x}{x}$) 증명
- 중심각이 $x$ ($-\frac{\pi}{2} < x < 0$) 인 제4사분면의 부채꼴을 가정합니다. 이 때 각도의 크기(절댓값)는 $|x| = -x$ 가 됩니다.
- 세 도형의 넓이는 길이나 높이가 절댓값으로 적용되므로 다음과 같습니다.
$\triangle OAB = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot |\sin x| = -\frac{1}{2}\sin x$
$\text{부채꼴 } OAB = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot |x| = -\frac{1}{2}x$
$\triangle OAT = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot |\tan x| = -\frac{1}{2}\tan x$ - 넓이의 대소 관계($\triangle OAB < \text{부채꼴} < \triangle OAT$)에 의해:
$-\frac{1}{2} \sin x < -\frac{1}{2} x < -\frac{1}{2} \tan x$ - 각 변에 $-2$를 곱하면 부등호의 방향이 바뀝니다.
$\sin x > x > \tan x$ (단, $x < 0$ 이므로 세 값 모두 음수) - 각 변을 음수인 $\sin x$ 로 나누면 부등호의 방향이 다시 바뀝니다.
$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$ - 역수를 취하면 부등호가 최종적으로 뒤집어집니다. $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
$x \to 0-$ 일 때 $\displaystyle \lim_{x \to 0-} \cos x = 1$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \to 0-} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 성립합니다.
2D 기하학적 도형 시뮬레이터
i θ 변화에 따른 도형의 수축 시각화
슬라이더를 통해 $\theta$ 값을 $25^\circ$ 에서 $1^\circ$ 로 줄여가며 두 영역 $f(\theta)$ (파란색) 와 $g(\theta)$ (초록색)의 크기 변화를 관찰하세요. 극한식에서 $\theta \to 0$ 의 상황을 직관적으로 이해할 수 있습니다.