벡터의 내적 조건 해석 및 자취를 이용한 최적화 문제
Q 문제 원문
29. 좌표평면에서 $\overline{\text{OA}} = \sqrt{2}$, $\overline{\text{OB}} = 2\sqrt{2}$ 이고 $\cos(\angle \text{AOB}) = \frac{1}{4}$ 인 평행사변형 $\text{OACB}$ 에 대하여 점 $\text{P}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $\overrightarrow{\text{OP}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + t\overrightarrow{\text{OB}} \quad (0 \le s \le 1, \; 0 \le t \le 1)$
(나) $\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} + \overrightarrow{\text{BP}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 2$
점 $\text{O}$ 를 중심으로 하고 점 $\text{A}$ 를 지나는 원 위를 움직이는 점 $\text{X}$ 에 대하여 $|3\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OX}}|$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$ 이라 하자. $M \times m = a\sqrt{6} + b$ 일 때, $a^2 + b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 유리수이다.) [4점]
1 출제의도 | 핵심 평가 역량
이 문항은 벡터의 내적 연산 성질을 이용하여 동점의 기하학적 자취를 추론하고, 벡터의 실수배와 뺄셈이 갖는 거리적 의미를 파악하여 최적화(최대·최소) 문제를 해결하는 능력을 평가합니다.
- 벡터의 덧셈, 뺄셈, 내적의 성질을 자유자재로 변형하여 위치벡터의 방정식을 단순화하는 능력
- 내적의 일정한 값을 정사영 또는 수선의 발을 이용하여 직선(선분)의 자취로 기하학적으로 해석하는 능력
- 점과 직선 사이의 거리, 원과 선분 사이의 최단/최장 거리 모델을 구축하여 최대/최소를 계산하는 능력
2 상세 풀이 | Step-by-Step
내적 조건을 이용한 점 P의 자취 방정식 도출
평행사변형 $\text{OACB}$ 에서 $\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{OA}}$ 가 성립합니다. 또한 벡터의 내적 값을 구하기 위해 $\overrightarrow{\text{OA}}$ 와 $\overrightarrow{\text{OB}}$ 의 내적을 미리 계산해 둡니다.
조건 (나)의 식을 위치벡터 $\text{O}$ 를 시점으로 하여 변형합니다. $\overrightarrow{\text{BP}} = \overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OB}}$ 임을 적용합니다.
즉, 점 $\text{P}$ 는 평행사변형 영역(조건 가) 내부에서 $\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = 3$ 을 만족하는 직선 상의 선분입니다.
점 P의 선분 양 끝점 파악하기
조건 (가) $\overrightarrow{\text{OP}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$ 를 $\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} = 3$ 에 대입하여 매개변수 $s, t$ 의 관계식을 찾습니다.
먼저 $|\overrightarrow{\text{OC}}|^2$ 과 내적 값들을 준비합니다.
내적식에 대입하여 정리합니다. ($\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{OB}}$)
조건 (가)에서 $0 \le s \le 1, \; 0 \le t \le 1$ 이므로, $s = 1 - 3t \ge 0$ 에서 $t \le \frac{1}{3}$ 이 됩니다.
결과적으로 $t \in [0, \frac{1}{3}]$ 이며, 양 끝점은 다음과 같습니다.
- $t = 0 \implies s = 1$ : 점 $\text{P}$ 는 점 $\text{A}$ 와 일치
- $t = \frac{1}{3} \implies s = 0$ : 점 $\text{P}$ 는 선분 $\text{OB}$ 를 $1:2$ 로 내분하는 점 $\frac{1}{3}\text{B}$
요구하는 벡터의 기하학적 의미 : 확대와 거리 측정
우리가 구해야 할 값은 $|3\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OX}}|$ 의 최댓값과 최솟값입니다.
$3\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{P}'}$ 이라 치환하면, 점 $\text{P}'$ 는 기존 점 $\text{P}$ 의 자취를 원점 $\text{O}$ 를 중심으로 3배 확대한 선분입니다.
- 점 $\text{P}'$ 의 양 끝점 : $\text{U} = 3\text{A}$, $\text{V} = \text{B}$
- 점 $\text{X}$ : 원점 $\text{O}$ 가 중심이고 반지름이 $r = |\overrightarrow{\text{OA}}| = \sqrt{2}$ 인 원 위의 점
- $|3\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OX}}| = |\overrightarrow{\text{P}'} - \overrightarrow{\text{X}}|$ : 선분 $\text{UV}$ 상의 임의의 점과 원 $X$ 상의 임의의 점 사이의 거리
(수선의 발 H' 에서 거리가 최소, 양 끝점 U, V 중 먼 곳에서 최대가 됩니다.)
최단 거리와 최장 거리 계산
선분 $\text{UV}$ 상의 임의의 점 $\text{K}$ 에 대하여 원점 $\text{O}$ 에서 $\text{K}$ 까지의 거리 제곱 $|\overrightarrow{\text{OK}}|^2$ 의 최솟값과 최댓값을 구합니다. 선분 $\text{UV}$ 의 매개변수 방정식을 $\overrightarrow{\text{OK}} = (1-k)\overrightarrow{\text{OU}} + k\overrightarrow{\text{OV}}$ ($0 \le k \le 1$) 로 둡니다.
- $|\overrightarrow{\text{OU}}|^2 = |3\overrightarrow{\text{OA}}|^2 = 9 \times (\sqrt{2})^2 = 18$
- $|\overrightarrow{\text{OV}}|^2 = |\overrightarrow{\text{OB}}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$
- $\overrightarrow{\text{OU}} \cdot \overrightarrow{\text{OV}} = 3\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 3 \times 1 = 3$
이차함수의 최솟값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형하면 $20\left(k - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{27}{4}$ 가 됩니다. $k = \frac{3}{4}$ 은 $0 \le k \le 1$ 구간에 포함되므로, 최단 거리의 제곱은 $\frac{27}{4}$ 이며, 최단 거리 $|\overrightarrow{\text{OH}'}| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ 입니다.
최장 거리는 양 끝점 $k=0$ (점 $\text{U}$) 또는 $k=1$ (점 $\text{V}$) 에서 발생합니다. $|\overrightarrow{\text{OU}}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{\text{OV}}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 이므로 최장 거리는 $3\sqrt{2}$ 입니다.
최종 정답 도출
구하고자 하는 거리는 원점 $\text{O}$ 가 중심이고 반지름이 $r = \sqrt{2}$ 인 원 $\text{X}$ 상의 점과 선분 $\text{UV}$ 상의 점 사이의 거리입니다.
$M \times m$ 의 값을 계산합니다.
문제의 조건에서 $M \times m = a\sqrt{6} + b$ 이므로 $a = 6, b = -8$ 입니다.
따라서 $a^2 + b^2 = 36 + 64$ 의 값은 100 입니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
자취 확대 시 기준점 오류 및 거리 측정 오개념
-
오류 : $|3\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OX}}|$ 를 분리하여 계산하는 경우
식을 $3|\overrightarrow{\text{OP}}| - |\overrightarrow{\text{OX}}|$ 처럼 벡터의 크기의 차이로 단순화하여 최대/최소를 구하려고 하는 큰 오개념이 있습니다. 벡터의 덧셈/뺄셈 크기는 삼각부등식을 따르며 단순 스칼라의 합차가 아닙니다.
올바른 논리 전개 : 위치벡터의 치환 $3\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{P}'}$ 으로 새로운 위치벡터를 정의하여, 점 $\text{P}'$ 의 새로운 자취(기존 선분을 3배 확대한 선분)를 명확히 찾고 기하학적으로 두 도형 사이의 거리를 측정해야 합니다.
5 핵심 이론 증명 | 원과 도형 사이의 거리 최대·최소
원 $X$ 의 중심이 $O$ 일 때, 외부의 점(또는 도형) $K$ 와 원 위의 점 $X$ 사이의 거리의 성질을 증명합니다.
원의 중심을 $O$, 반지름을 $r$, 원 밖의 한 점을 $K$ 라 할 때, 원 위의 점 $X$ 에 대하여 선분 $KX$ 길이의 최댓값은 $\overline{OK} + r$, 최솟값은 $\overline{OK} - r$ 이다.
수학적 증명 :
- 벡터의 삼각부등식에 의해 $|\overrightarrow{\text{OK}} - \overrightarrow{\text{OX}}| \ge ||\overrightarrow{\text{OK}}| - |\overrightarrow{\text{OX}}||$ 가 성립합니다.
- $\overrightarrow{\text{KX}} = \overrightarrow{\text{OX}} - \overrightarrow{\text{OK}}$ 이며, $|\overrightarrow{\text{OX}}| = r$ 로 일정합니다.
- $|\overrightarrow{\text{KX}}| = |\overrightarrow{\text{OK}} - \overrightarrow{\text{OX}}| \ge |\overrightarrow{\text{OK}}| - r$. (등호는 $O, X, K$ 가 순서대로 일직선 상에 있을 때 성립)
- 마찬가지로 $|\overrightarrow{\text{OK}} - \overrightarrow{\text{OX}}| \le |\overrightarrow{\text{OK}}| + |\overrightarrow{\text{OX}}| = |\overrightarrow{\text{OK}}| + r$. (등호는 $X, O, K$ 가 순서대로 일직선 상에 있을 때 성립)
- 본 문항에서는 점 $K$ 가 고정된 점이 아니라 선분 $UV$ 위를 움직입니다.
따라서 전체 거리의 최솟값은 $|\overrightarrow{\text{OK}}|$ 가 최소일 때 $\min|\overrightarrow{\text{OK}}| - r$ 이 되며,
최댓값은 $|\overrightarrow{\text{OK}}|$ 가 최대일 때 $\max|\overrightarrow{\text{OK}}| + r$ 이 됩니다.
2D 정밀 기하 뷰어
i 자취의 확대와 최대·최소 모델 구현
평행사변형 $\text{OACB}$ 와 내적 조건을 만족하는 점 $\text{P}$ 의 자취를 시각화했습니다.
토글 버튼을 통해 $\overrightarrow{\text{P}'} (3\overrightarrow{\text{OP}})$ 로 3배 확대된 자취와 원 $\text{X}$ 사이의 최단/최장 거리 모델을 확인할 수 있습니다.
※ 마우스 드래그로 화면 이동, 휠 스크롤로 확대/축소가 가능합니다.