2022학년도 수능 수학 확률과 통계 29번 해설 : 2022CSAT_No29

수능 출제 분석

연속확률변수의 확률밀도함수 성질과 정적분을 이용한 확률 계산

Q 문제 원문

29. 두 연속확률변수 $X$와 $Y$가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le 6$, $0 \le Y \le 6$이고, $X$와 $Y$의 확률밀도함수는 각각 $f(x)$, $g(x)$이다. 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$의 그래프는 그림과 같다.

$0 \le x \le 6$인 모든 $x$에 대하여

$$f(x) + g(x) = k \quad (k\text{는 상수})$$

를 만족시킬 때, $\mathrm{P}(6k \le Y \le 15k) = \frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① 27

② 29

③ 31

④ 33

⑤ 35

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 연속확률변수의 확률밀도함수가 가지는 기하학적, 해석학적 성질을 정확히 이해하고 있는지를 평가합니다.

확률밀도함수와 $x$축 사이의 전체 넓이가 $1$임을 이용하여 미지수 상수를 구하는 능력
주어진 함수 방정식을 정적분과 연결지어 새로운 확률밀도함수의 확률(넓이)을 계산하는 능력
구간별로 정의된 함수의 넓이를 기하학적 도형(삼각형, 사다리꼴, 직사각형)을 활용하여 효율적으로 계산하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

확률밀도함수의 성질을 이용한 상수 $k$ 도출

확률밀도함수의 가장 중요한 기본 성질은 주어진 전체 구간에서의 정적분 값(넓이)이 항상 $1$이 되어야 한다는 것입니다. 두 확률변수 $X$, $Y$ 모두 구간이 $[0, 6]$이므로 다음이 성립합니다.

\int_{0}^{6} f(x) dx = 1, \quad \int_{0}^{6} g(x) dx = 1

문제의 조건식 $f(x) + g(x) = k$ 의 양변을 $0$부터 $6$까지 정적분합니다.

\int_{0}^{6} \{f(x) + g(x)\} dx = \int_{0}^{6} k dx $$ $$ \int_{0}^{6} f(x) dx + \int_{0}^{6} g(x) dx = \left[ kx \right]_{0}^{6} $$ $$ 1 + 1 = 6k \quad \Rightarrow \quad 6k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{3}

Step 2

구하고자 하는 확률의 범위 설정 및 식의 변형

구해진 $k = \frac{1}{3}$ 을 구하고자 하는 확률 식에 대입하여 범위를 명확히 합니다.

\mathrm{P}(6k \le Y \le 15k) = \mathrm{P} \left( 6 \times \frac{1}{3} \le Y \le 15 \times \frac{1}{3} \right) = \mathrm{P}(2 \le Y \le 5)

이 확률은 확률밀도함수 $g(x)$를 $2$부터 $5$까지 정적분한 값과 같습니다. $g(x) = k - f(x) = \frac{1}{3} - f(x)$ 이므로 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

\begin{aligned} \mathrm{P}(2 \le Y \le 5) &= \int_{2}^{5} g(x) dx = \int_{2}^{5} \left\{ \frac{1}{3} - f(x) \right\} dx \\ &= \int_{2}^{5} \frac{1}{3} dx - \int_{2}^{5} f(x) dx = \left[ \frac{1}{3}x \right]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} f(x) dx \\ &= \frac{1}{3}(5 - 2) - \int_{2}^{5} f(x) dx = 1 - \int_{2}^{5} f(x) dx \end{aligned}

핵심 포인트 : 결과적으로 $Y$의 확률을 구하는 문제는 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$의 넓이를 구하는 문제로 귀결됩니다.

Step 3

함수 $f(x)$의 구간별 넓이 계산

이제 정적분 $\int_{2}^{5} f(x) dx$ 의 값을 구해야 합니다. 이는 $x$축, $x=2$, $x=5$, 그리고 $y=f(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이와 같습니다. 함수 $f(x)$가 $x=3$을 기준으로 모양이 바뀌므로 구간을 나누어 계산합니다.

▶ 첫 번째 구간 : $[2, 3]$ 에서의 넓이

그래프를 보면 구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(x)$는 원점 $(0,0)$과 $(3, \frac{1}{4})$을 지나는 직선입니다. 기울기는 $\frac{\frac{1}{4}-0}{3-0} = \frac{1}{12}$ 이므로 직선의 방정식은 $f(x) = \frac{1}{12}x$ 입니다.
따라서 $x=2$일 때의 함숫값 $f(2) = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6}$ 입니다.
구간 $[2, 3]$의 넓이는 윗변이 $\frac{1}{6}$, 아랫변이 $\frac{1}{4}$, 높이가 $1$인 사다리꼴의 넓이입니다.

\int_{2}^{3} f(x) dx = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \right) \times 1 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{12} = \frac{5}{24}

▶ 두 번째 구간 : $[3, 5]$ 에서의 넓이

구간 $[3, 5]$에서 함수 $f(x)$는 항상 $\frac{1}{4}$의 값을 가지는 상수함수입니다.
이 구간의 넓이는 가로의 길이가 $2$이고 세로의 길이가 $\frac{1}{4}$인 직사각형의 넓이입니다.

\int_{3}^{5} f(x) dx = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \frac{12}{24}

두 구간의 넓이를 합산합니다.

\int_{2}^{5} f(x) dx = \frac{5}{24} + \frac{12}{24} = \frac{17}{24}

Step 4

최종 정답 도출

Step 2에서 구한 관계식에 Step 3의 결과를 대입합니다.

\mathrm{P}(2 \le Y \le 5) = 1 - \int_{2}^{5} f(x) dx = 1 - \frac{17}{24} = \frac{7}{24}

따라서 $\frac{q}{p} = \frac{7}{24}$ 이며, $7$과 $24$는 서로소인 자연수이므로 $p=24$, $q=7$ 이 성립합니다.

$$ p + q = 24 + 7 = 31 $$

정답 : ③ 31

3 이론 매칭

연속확률변수 확률밀도함수 확률밀도함수의 성질 (전체 넓이는 1) 정적분과 넓이 도형의 넓이 (삼각형, 사다리꼴)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오개념 1 : $g(x)$의 식을 직접 대수적으로 구하려는 시도

학생들은 종종 $g(x) = \frac{1}{3} - f(x)$ 라는 식을 세운 뒤, $f(x)$를 세 구간으로 나누어 식을 만들고 이를 다시 $g(x)$에 대입하여 일일이 정적분 기호로 계산하려고 합니다. 이 과정에서 산술적인 계산 실수나 구간의 혼동이 발생하기 매우 쉽습니다.

교정 : 정적분의 선형성 성질 $\int \{A - f(x)\}dx = \int A dx - \int f(x) dx$ 를 활용하면, 복잡한 $g(x)$ 식을 직접 구성할 필요 없이 직관적인 $f(x)$의 기하학적 넓이만으로 답을 도출할 수 있습니다.

오개념 2 : 확률밀도함수의 넓이 성질 누락

조건 $f(x) + g(x) = k$ 를 보고 이를 어떻게 활용할지 몰라 당황하는 경우가 많습니다. 모든 확률밀도함수의 전체 구간 정적분 값은 항상 $1$이다라는 기초적이고 핵심적인 정의를 떠올리지 못해 $k$값을 구하지 못하고 막히는 현상입니다.

5 핵심 이론 증명 : 선형 변환된 확률밀도함수의 적분과 기하학적 의미

※ '선형 변환' 용어에 대한 참고 (고등학교 심화/대학 과정)

고등학교 확률과 통계 및 수학 교육과정에서는 함수 $g(x) = -f(x) + k$ 를 'x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 $k$만큼 평행이동'한 것으로 배웁니다. 대학 과정이나 심화 수학에서는 이러한 일차식 형태의 변형을 넓은 의미에서 '선형 변환'(보다 엄밀히는 아핀 변환, Affine Transformation)이라고 부릅니다. 본 해설에서는 식의 1차적 구조가 변형되었음을 강조하기 위해 해당 용어를 함께 기재하였습니다.

▶ $g(x) = k - f(x)$ 의 기하학적 적분 증명

문제 해결의 근간이 된 식 $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} \{k - f(x)\} dx$ 의 기하학적 의미를 논리적으로 유도해 보겠습니다.

수식적 유도 : 정적분의 기본 성질에 의해 다음이 성립합니다.

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \{k - f(x)\} dx &= \int_{a}^{b} k dx - \int_{a}^{b} f(x) dx \\ &= \left[ kx \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(x) dx \\ &= k(b - a) - \int_{a}^{b} f(x) dx \end{aligned}

기하학적 해석 :

항 $k(b-a)$는 가로의 길이가 $(b-a)$이고 세로의 높이가 $k$인 큰 직사각형의 넓이를 의미합니다.
항 $\int_{a}^{b} f(x) dx$는 그 직사각형 내부에 위치한 함수 $f(x)$ 아랫부분의 넓이를 의미합니다.
따라서 확률 $\int_{a}^{b} g(x) dx$ 는 전체 직사각형의 넓이에서 $f(x)$가 차지하는 넓이를 빼낸 나머지 윗부분의 넓이와 완벽하게 일치합니다. (우측 시뮬레이터에서 시각적으로 확인할 수 있습니다.)

2D 확률밀도함수 시각화 및 넓이 시뮬레이터

■ $f(x)$와 $g(x)$의 면적 관계

$x$축, $y$축 상에 확률밀도함수 $f(x)$ 와 $g(x) = \frac{1}{3} - f(x)$ 를 시각화했습니다.
아래 버튼을 클릭하여 전체 넓이 보존 법칙과 $x \in [2, 5]$ 구간에서 확률이 계산되는 기하학적 원리를 확인하세요.

버튼을 눌러 특정 확률 구간의 면적을 시각화하세요.