수능 출제 분석

정적분의 활용과 역함수의 성질

Q 문제 원문

30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1) = 1, \quad \displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{5}{4}$

(나) 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때,
$x \ge 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g(2x) = 2f(x)$이다.

$\displaystyle \int_{1}^{8} x f'(x) dx = \frac{q}{p}$ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

2022학년도 수능 수학 미적분 30번 원문 이미지
① 139
② 141
③ 143
④ 145
⑤ 147

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 부분적분법을 활용하여 구하고자 하는 정적분 식을 변형하고, 역함수의 정적분 성질을 이용하여 미지의 정적분 값을 점화적으로 추론하는 능력을 평가합니다. 역함수와 원래 함수의 기하학적 넓이 관계를 대수적인 수식으로 완벽히 치환할 수 있는지가 핵심입니다.

  • 부분적분법을 통한 $\displaystyle \int x f'(x) dx$ 형태의 식 조작
  • 항등식 $g(2x) = 2f(x)$를 이용한 특정 함숫값 $f(2), f(4), f(8)$의 추론
  • $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ 정리의 응용
  • 치환적분법을 활용한 역함수 정적분 구간의 확대 (스케일링)

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

함수 $f(x)$의 주요 함숫값 추론

조건 (가)에서 $f(1) = 1$이 주어졌습니다. 또한 조건 (나)에 의해 $x \ge 1$에서 $g(2x) = 2f(x)$가 성립합니다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이므로, $g(a) = b$이면 $f(b) = a$입니다. 이를 이용하여 구간의 경계가 되는 함숫값들을 순차적으로 구합니다.

$x = 1$ 일 때
$g(2 \times 1) = 2f(1) \implies g(2) = 2$.
역함수 성질에 의해 $f(2) = 2$
$x = 2$ 일 때
$g(2 \times 2) = 2f(2) \implies g(4) = 4$.
역함수 성질에 의해 $f(4) = 4$
$x = 4$ 일 때
$g(2 \times 4) = 2f(4) \implies g(8) = 8$.
역함수 성질에 의해 $f(8) = 8$
[참고도 1 : 함숫값의 기하학적 위치] (1, 1) (2, 2) (4, 4) (8, 8) x축 y축
Step 2

구하고자 하는 식의 부분적분

문제에서 요구하는 값은 $\displaystyle \int_{1}^{8} x f'(x) dx$ 입니다. 이 형태는 부분적분법을 적용하기에 최적화된 형태입니다.
$u(x) = x \implies u'(x) = 1$
$v'(x) = f'(x) \implies v(x) = f(x)$ 로 설정합니다.

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{8} x f'(x) dx &= \left[ x f(x) \right]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} f(x) dx \\ &= (8 \cdot f(8) - 1 \cdot f(1)) - \int_{1}^{8} f(x) dx \\ &= (8 \cdot 8 - 1 \cdot 1) - \int_{1}^{8} f(x) dx \\ &= 63 - \int_{1}^{8} f(x) dx \end{aligned} $$

따라서 목표는 $\displaystyle \int_{1}^{8} f(x) dx$ 의 값을 구하는 것으로 귀결됩니다. 적분 구간을 분할하여 계산을 진행합니다. $$ \int_{1}^{8} f(x) dx = \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx + \int_{4}^{8} f(x) dx $$

Step 3

구간 $[1, 2]$에서의 역함수 정적분 해석

원함수와 역함수의 정적분 관계 정리에 의해 다음이 성립합니다. $$ \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{f(1)}^{f(2)} g(x) dx = 2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) $$

$f(1)=1, f(2)=2$ 이고 조건 (가)에서 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{5}{4}$ 가 주어졌으므로 대입합니다.

$$ \frac{5}{4} + \int_{1}^{2} g(x) dx = 2(2) - 1(1) = 3 $$ $$ \therefore \int_{1}^{2} g(x) dx = 3 - \frac{5}{4} = \frac{7}{4} $$
[참고도 2 : 구간 [1, 2]에서 넓이의 합] ∫ f(x) = 5/4 ∫ g(x) = 7/4 1 2 1 2
Step 4

조건 (나)를 이용한 적분 구간의 확장

구간 $[2, 4]$의 $g(x)$ 정적분을 조건 (나) $g(2x) = 2f(x)$를 통해 치환적분합니다. $x = 2t$로 치환하면 $dx = 2dt$ 입니다.

$$ \int_{2}^{4} g(x) dx = \int_{1}^{2} g(2t) \cdot 2 dt = \int_{1}^{2} \{2f(t)\} \cdot 2 dt $$ $$ = 4 \int_{1}^{2} f(t) dt = 4 \times \frac{5}{4} = 5 $$

다시 역함수 정적분 관계를 구간 $[2, 4]$에 적용합니다.

$$ \int_{2}^{4} f(x) dx + \int_{f(2)}^{f(4)} g(x) dx = 4(4) - 2(2) = 12 $$ $$ \int_{2}^{4} f(x) dx + 5 = 12 \implies \mathbf{\int_{2}^{4} f(x) dx = 7} $$

마찬가지로 구간 $[4, 8]$의 정적분을 구합니다. $x = 2t \implies dx = 2dt$ 치환적분을 동일하게 적용합니다.

$$ \int_{4}^{8} g(x) dx = \int_{2}^{4} g(2t) \cdot 2 dt = 4 \int_{2}^{4} f(t) dt = 4 \times 7 = 28 $$

$$ \int_{4}^{8} f(x) dx + \int_{f(4)}^{f(8)} g(x) dx = 8(8) - 4(4) = 64 - 16 = 48 $$ $$ \int_{4}^{8} f(x) dx + 28 = 48 \implies \mathbf{\int_{4}^{8} f(x) dx = 20} $$

Step 5

최종 정답 도출

모든 구간의 정적분 값을 더하여 $\displaystyle \int_{1}^{8} f(x) dx$ 를 완성합니다.

$$ \int_{1}^{8} f(x) dx = \frac{5}{4} + 7 + 20 = 27 + \frac{5}{4} = \frac{108}{4} + \frac{5}{4} = \frac{113}{4} $$

Step 2에서 정리한 식에 대입합니다.

$$ \int_{1}^{8} x f'(x) dx = 63 - \int_{1}^{8} f(x) dx = 63 - \frac{113}{4} = \frac{252 - 113}{4} = \frac{139}{4} $$

따라서 $p = 4$, $q = 139$ 이며 (두 수는 서로소인 자연수),

$p+q = 4 + 139 = 143$ 입니다.

정답 | ③ 143

3 이론 매칭

부분적분법 역함수의 성질 정적분과 역함수의 관계 치환적분법

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

학생들이 자주 범하는 논리적 오개념

  • 오류 1 : 함수 $f(x)$를 다항함수로 추측(Curve Fitting)하여 대입하려는 시도

    $f(1)=1, f(2)=2, f(4)=4$ 라는 조건을 보고 섣불리 $f(x)=x$ 라고 단정 짓는 실수가 흔합니다. 하지만 $f(x)=x$ 라면 $\int_{1}^{2} x dx = \frac{3}{2}$ 이 되어 조건 (가)의 $\frac{5}{4}$에 위배됩니다.

    수학적 교정 : 이 문항은 함수식을 특정하는 문제가 아니라, '적분 기호 안에서 이루어지는 식의 변형 성질'을 이용하는 문제입니다. 함숫값이 규칙적이라고 해서 함수 전체의 개형을 1차식 등으로 예단해서는 안 됩니다.

  • 오류 2 : 치환적분 시 적분 구간의 오류

    $\displaystyle \int_{2}^{4} g(x) dx$ 에서 $x = 2t$ 로 치환할 때, $dx$를 $2dt$로 바꾸는 것은 잘하지만, 적분 구간을 $[2, 4]$ 그대로 유지하여 계산 실수를 유발하는 경우가 많습니다. $x$가 $2$에서 $4$로 변할 때 $t$는 $1$에서 $2$로 변하므로 구간 변경에 각별한 주의가 필요합니다.

5 핵심 이론 증명 | 역함수와 정적분의 관계

정리 : 증가하고 미분가능한 함수 $f(x)$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여,

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx = b f(b) - a f(a) $$

대수적 증명 (치환적분법 활용)

  1. 우변의 두 번째 항 $\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx$ 에 대하여 치환적분을 수행합니다.
  2. $x = f(t)$ 로 치환하면, $dx = f'(t)dt$ 가 됩니다.
  3. 적분 구간 변경 : $x=f(a)$ 일 때 $t=a$, $x=f(b)$ 일 때 $t=b$ 입니다.
  4. 식에 대입하면 : $\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(f(t)) f'(t) dt$
  5. 역함수의 정의에 의해 $g(f(t)) = t$ 이므로 식은 $\displaystyle \int_{a}^{b} t f'(t) dt$ 로 정리됩니다.
  6. 이제 부분적분법을 적용합니다. $\displaystyle \int_{a}^{b} t f'(t) dt = \left[ t f(t) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} 1 \cdot f(t) dt$
  7. 결과적으로 $b f(b) - a f(a) - \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt$ 가 됩니다.
  8. 이를 원래 좌변의 식에 대입하면 :
    $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx + \left( b f(b) - a f(a) - \int_{a}^{b} f(x) dx \right) = b f(b) - a f(a)$ 가 되어 증명이 완료됩니다.

2D 역함수 정적분 시뮬레이터

i 넓이 타일링 기하학 시각화

아래 캔버스는 $y = x^2$ 곡선을 예시로, 역함수 정적분 정리 $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx = b f(b) - a f(a)$ 가 기하학적으로 어떻게 성립하는지 보여줍니다.
슬라이더를 조작하여 구간 $[a, b]$를 변경해보며 면적이 어떻게 퍼즐처럼 맞아떨어지는지 관찰하세요.

구간의 시작점 $a$ a = 1.0
구간의 끝점 $b$ b = 2.0
$\int_{a}^{b} f(x) dx$ (파란 영역) 0.00
$\int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx$ (초록 영역) 0.00
Sum = $b f(b) - a f(a)$ 0.00