2022CSAT_No : 2022학년도 수능 수학 기하 30번 해설

수능 출제 분석

공간도형과 정사영의 넓이 최적화 문제

Q 문제 원문

30. 좌표공간에 중심이 $C(2, \sqrt{5}, 5)$이고 점 $P(0, 0, 1)$을 지나는 구

S : (x - 2)^2 + (y - \sqrt{5})^2 + (z - 5)^2 = 25

가 있다. 구 $S$가 평면 $OPC$와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 $Q$, 구 $S$ 위를 움직이는 점 $R$에 대하여 두 점 $Q$, $R$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $Q_1$, $R_1$이라 하자.

삼각형 $OQ_1R_1$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 $Q$, $R$에 대하여 삼각형 $OQ_1R_1$의 평면 $PQR$ 위로의 정사영의 넓이는 $\frac{q}{p}\sqrt{6}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $O$는 원점이고 세 점 $O$, $Q_1$, $R_1$은 한 직선 위에 있지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

참고 도형 : image_1bd4ac.png

① 21

② 22

③ 23

④ 24

⑤ 25

1 출제의도 | 핵심 평가 역량

이 문항은 좌표공간에서 구와 평면의 교선인 원의 성질을 직관적으로 이해하고, 정사영된 도형의 넓이가 최대가 되는 기하학적 거리를 추론하여, 두 평면이 이루는 이면각을 법선벡터를 통해 계산하는 능력을 종합적으로 평가합니다.

수직으로 서 있는 평면 내의 원이 바닥으로 정사영될 때 선분으로 나타남을 공간적으로 상상하는 능력
정사영된 원반(Disk)과 선분 위에서 삼각형의 넓이가 최대가 되는 조건을 거리를 통해 분석하는 능력
평면의 법선벡터를 연립방정식을 통해 유도하고 벡터의 내적을 이용하여 이면각을 구하는 능력

2 상세 풀이 | Step-by-Step

Step 1

평면 OPC의 공간적 위치와 정사영의 성질

점 $O(0,0,0)$와 $P(0,0,1)$은 모두 $z$축 위에 있습니다. 즉, 평면 $OPC$는 $z$축을 통째로 포함하며, 바닥인 $xy$평면과 완벽하게 수직으로 서 있는 평면(마치 회전문처럼)입니다.

구의 중심 $C(2, \sqrt{5}, 5)$ 역시 이 평면 위에 있습니다. 구 $S$를 구의 중심을 지나는 평면 $OPC$로 자르면, 그 교선은 중심이 $C$이고 구의 반지름과 동일한 반지름 5인 큰 원이 됩니다. 점 $Q$는 바로 이 원 위를 돕니다.

이제 이 점 $Q$를 바닥($xy$평면)으로 꾹 눌러 정사영 내린 점 $Q_1$을 상상해 봅시다. 수직으로 똑바로 서 있는 평면 안의 원을 바닥으로 정사영하면 어떻게 될까요? 둥근 원이 아니라 하나의 납작한 선분으로 보이게 됩니다.

원의 중심 $C(2, \sqrt{5}, 5)$의 바닥 그림자인 $C'(2, \sqrt{5}, 0)$을 구합니다.
원점 $O$에서 $C'$까지의 거리를 구해보면 $\overline{OC'} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9} = 3$ 입니다.
정사영된 점 $Q_1$은 원점 $O$와 $C'$를 연결한 직선 위에서만 왕복 운동을 하며, 중심 $C'$로부터 양쪽으로 원의 반지름 길이인 5만큼씩 왔다 갔다 할 수 있습니다.

※ 아래 3D 시뮬레이션을 마우스로 드래그하며, 공간좌표계에서 점 $Q$(빨간색)가 회전할 때 바닥의 정사영 $Q_1$(파란색)이 어떻게 선분을 그리는지 직접 확인해보세요.

Live 3D 시뮬레이션 : 수직 평면 속 원의 정사영 궤적 드래그하여 공간 회전

Step 2

삼각형 OQ₁R₁ 넓이의 최댓값 조건 찾기

이제 머릿속에서 $z$축을 지우고 오직 바닥($xy$평면) 위에서만 상황을 단순하게 그려봅니다.

점 $R$은 구 껍데기 전체를 자유롭게 움직입니다. 이것을 바닥으로 누르면(정사영 $R_1$), 중심이 $C'$이고 반지름이 5인 꽉 찬 동전 모양의 원반(Disk) 영역 전체를 색칠하게 됩니다.

삼각형 $OQ_1R_1$의 넓이가 최대가 되려면 (넓이 = $\frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$) 밑변과 높이가 각각 가장 길어야 합니다.

밑변 $\overline{OQ_1}$ 최대 : $Q_1$은 직선 $OC'$ 위에서 움직입니다. 원점 $O$에서 출발해 $C'$까지 거리 3만큼 가고, 그 방향 그대로 반지름 5만큼 더 갔을 때 가장 멉니다. 따라서 최대 밑변 길이는 $3 + 5 = 8$ 입니다.
높이 최대 : 점 $R_1$은 원반 영역 안을 돌아다닙니다. 밑변을 포함하는 직선 $OC'$로부터 가장 멀어지려면 원반의 경계선 끝까지 수직으로 올라가야 합니다. 따라서 최대 높이는 원반의 반지름인 5 가 됩니다.

\text{최대 넓이 } S_0 = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20

[참고도 : xy평면 위에서 거리 기반 삼각형 최대 넓이 시각화]

Step 3

평면 PQR의 법선벡터와 이면각 계산 (교과 과정)

이제 정사영 시킬 대상 평면 $PQR$과 바닥면인 $xy$평면 사이의 이면각 $\theta$를 구해야 합니다. 넓이가 최대가 되게끔 배치된 좌표를 기준으로 평면 $PQR$을 지나는 점은 다음과 같습니다.

P(0, 0, 1), \quad Q(8, 0, 5), \quad R(3, 5, 5)

평면 $PQR$ 상에 존재하는 두 개의 방향벡터 $\overrightarrow{PQ}$와 $\overrightarrow{PR}$을 구합니다.

\overrightarrow{PQ} = (8, 0, 4) = 4(2, 0, 1) \implies \text{평면 위의 방향벡터 } \vec{u} = (2, 0, 1) $$ $$ \overrightarrow{PR} = (3, 5, 4) = \vec{v}

평면 $PQR$의 법선벡터를 $\vec{n} = (a, b, c)$라 하면, $\vec{n}$은 평면 위의 모든 방향벡터와 수직이므로 내적 값이 0이 되어야 합니다. 이를 연립방정식으로 풉니다.

\vec{n} \cdot \vec{u} = 2a + c = 0 \implies c = -2a $$ $$ \vec{n} \cdot \vec{v} = 3a + 5b + 4c = 0

첫 번째 식 $c = -2a$를 두 번째 식에 대입하면 $3a + 5b - 8a = 0 \implies -5a + 5b = 0 \implies a = b$ 가 됩니다.
법선벡터는 방향(비율)만이 중요하므로 $a : b : c = 1 : 1 : -2$ 가 됩니다. 가장 간단한 정수를 대입하여 법선벡터 $\vec{n} = (1, 1, -2)$를 얻습니다.

$xy$평면의 법선벡터는 $\vec{k} = (0, 0, 1)$ 입니다. 두 평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$를 구합니다.

\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|(1)(0) + (1)(0) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{6}}

[참고도 : 평면 PQR과 법선벡터 유도]

Step 4

최종 정사영의 넓이 계산

구하고자 하는 값은 바닥($xy$평면)의 삼각형 $OQ_1R_1$을 공중에 비스듬하게 떠 있는 평면 $PQR$ 위로 정사영한 넓이입니다.
어느 평면에서 어느 평면으로 투영하든 곱해지는 인자는 $\cos\theta$로 동일하므로, 구하는 정사영 넓이 $S'$는 $S_0 \times \cos\theta$ 가 성립합니다.

S' = 20 \times \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{40}{\sqrt{6}} = \frac{40\sqrt{6}}{6} = \frac{20}{3}\sqrt{6}

[참고도 : 두 평면 사이의 정사영 투영 관계]

문제의 조건에서 정사영의 넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{6}$ 이므로, $p = 3, q = 20$ 입니다. ($p, q$는 서로소인 자연수)

따라서 $p + q = 3 + 20$ 의 값은 23 입니다.

3 이론 매칭

구의 방정식과 평면의 교선 정사영 (도형의 그림자) 두 평면이 이루는 각 (이면각) 내적을 이용한 평면의 법선벡터 (연립방정식)

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

정사영의 방향에 대한 오해석

오류 : $PQR$ 삼각형을 $xy$평면으로 정사영하는 것으로 착각

많은 학생들이 습관적으로 공중에 떠 있는 도형을 바닥($xy$평면)으로 정사영하는 공식을 사용합니다. 하지만 이 문제는 바닥에 있는 삼각형 $OQ_1R_1$을 공중에 있는 비스듬한 평면 $PQR$ 위로 정사영하라고 요구하고 있습니다.

올바른 논리 : 어떠한 평면 $A$ 위의 도형을 평면 $B$로 정사영 할 때 넓이는 $S_B = S_A \cos\theta$ 가 성립합니다. 이 공식은 투영의 방향이 평면 $B$에 수직인 빛을 쏠 때를 가정합니다. 정사영은 투영되는 대상 평면의 법선과 평행하게 내려꽂히는 것이므로, $A$에서 $B$로 정사영하든, $B$에서 $A$로 정사영하든 곱해지는 인자 $\cos\theta$는 동일하게 적용됩니다. 따라서 $\triangle OQ_1R_1$의 넓이에 $\cos\theta$를 곱하는 것이 맞습니다.

5 교육과정 외 풀이 (심화) | 벡터의 외적을 이용한 법선 유도

교과 과정에서는 Step 3처럼 연립방정식으로 법선벡터를 구하지만, 대학 수학의 벡터의 외적(Cross Product)을 알면 연립방정식 없이 매우 빠르게 법선벡터를 풀 수 있습니다. (심화 참고용)

[정리] 공간에서 세 점을 지나는 평면의 법선벡터 (외적)

평면 위의 독립적인 두 벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$와 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$에 동시에 수직인 벡터 $\vec{n}$은 외적 $\vec{a} \times \vec{b}$ 로 정의되며 다음과 같이 계산된다.

$$ \vec{n} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1) $$

본 문항에의 적용 :

$\vec{u} = (2, 0, 1)$ 이고 $\vec{v} = (3, 5, 4)$ 일 때, 공식을 대입합니다.
$x$성분: $0\times4 - 1\times5 = -5$
$y$성분: $1\times3 - 2\times4 = -5$
$z$성분: $2\times5 - 0\times3 = 10$
따라서 $\vec{n} = (-5, -5, 10)$ 이 도출되며, 비율을 축소하면 $\vec{n} = (1, 1, -2)$ 로 연립방정식 결과와 완벽하게 일치합니다.

2D 정사영 거리 분석기 (바닥 관점)

복잡한 좌표축 회전을 배제하고 거리만으로 파악하는 뷰입니다.
원점 $O$로부터 $Q_1$이 가장 멀어지는 거리(3+5=8)와, $R_1$이 직선에서 가장 높게 올라가는 거리(반지름 5)를 확인하세요.
※ 마우스 드래그(이동) 및 마우스 휠(확대/축소)이 가능합니다.

3D 전체 공간 뷰어

마우스 드래그로 회전, 휠 스크롤로 확대/축소하여 공간 전체를 파악해 보세요.
교육과정 표준좌표계(x:빨강/앞, y:초록/우, z:파랑/위)가 완벽히 적용되었습니다.