수능 출제 분석

독립시행의 확률과 조건부확률의 융합적 추론

Q 문제 원문

30. 흰 공과 검은 공이 각각 10개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 5 이상이면

바구니에 있는 흰 공 2개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 4 이하이면

바구니에 있는 검은 공 1개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 5번 반복할 때, $n(1 \le n \le 5)$번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 $a_n, b_n$이라 하자. $a_5 + b_5 \ge 7$일 때, $a_k = b_k$인 자연수 $k(1 \le k \le 5)$가 존재할 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① 187
② 189
③ 191
④ 193
⑤ 195

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 독립시행의 확률을 바탕으로 한 조건부확률의 계산 및 복합 사건의 논리적 추론 능력을 평가합니다.

  • 주사위 눈의 조건에 따라 달라지는 확률변수(흰 공과 검은 공의 누적 개수)의 규칙성을 파악하는 능력
  • 제시된 대전제 조건($a_5 + b_5 \ge 7$)을 만족하는 사건의 표본공간을 축소하여 재설정하는 능력
  • 특정 중간 단계($k$번째 시행)에서 발생하는 기하학적/대수적 조건($a_k = b_k$)을 만족하는 경우의 수를 독립시행의 정리로 분할하여 계산하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

단일 시행의 확률과 변수 설정

주사위를 한 번 던질 때 일어날 수 있는 두 가지 사건을 정의합니다.

사건 A : 5 이상의 눈 (5, 6) 확률 $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 흰 공 +2개
사건 B : 4 이하의 눈 (1, 2, 3, 4) 확률 $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 검은 공 +1개

총 5번의 시행 중 사건 A가 일어나는 횟수를 $X$라고 합시다. 사건 B가 일어나는 횟수는 자연스럽게 $(5 - X)$번이 됩니다. ($0 \le X \le 5$)

Step 2

조건사건의 확률 계산 (분모 축소)

문제의 조건인 $a_5 + b_5 \ge 7$ 을 $X$에 대한 식으로 표현해 봅니다. 5번 시행 후 흰 공의 총 개수 $a_5 = 2X$, 검은 공의 총 개수 $b_5 = 1 \times (5 - X) = 5 - X$ 입니다.

$$ a_5 + b_5 = 2X + (5 - X) = X + 5 $$ $$ X + 5 \ge 7 \quad \Rightarrow \quad X \ge 2 $$

즉, 전체 조건사건(이를 사건 $S$라 합시다)은 '5번 중 사건 A가 2번 이상 발생'하는 것입니다. 여사건을 이용해 확률을 구합니다.

$$ \begin{aligned} P(S) &= P(X \ge 2) = 1 - \{ P(X=0) + P(X=1) \} \\ &= 1 - \left\{ {}_5\mathrm{C}_0 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 + {}_5\mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \right\} \\ &= 1 - \left( \frac{32}{243} + \frac{5 \times 16}{243} \right) = 1 - \frac{112}{243} = \frac{131}{243} \end{aligned} $$
Step 3

목표사건의 분석 : $a_k = b_k$ 가 되는 시점 찾기

$k$번째 시행까지 사건 A가 $x_k$번, 사건 B가 $y_k$번 일어났다고 합시다. ($x_k + y_k = k$) 이때 $a_k = 2x_k$, $b_k = y_k$ 이므로, $a_k = b_k$ 가 되려면 다음이 성립해야 합니다.

방정식 분석
$$ 2x_k = y_k $$ $$ x_k + y_k = k \text{ 이므로}, \quad x_k + 2x_k = k \quad \Rightarrow \quad 3x_k = k $$

$x_k$는 음이 아닌 정수이므로, 시행 횟수 $k$는 반드시 3의 배수여야 합니다. 주어진 시행 횟수가 최대 5번($1 \le k \le 5$)이므로, 조건을 만족하는 $k$는 오직 3뿐입니다.

결론 : $a_k = b_k$ 가 존재한다는 것은, 정확히 3번째 시행에서 흰 공 2개($a_3=2$), 검은 공 2개($b_3=2$)가 됨을 의미합니다. 즉, 처음 3번의 시행 중 사건 A가 1번, 사건 B가 2번 발생해야 합니다. (이를 사건 $E$라 합시다)

Step 4

교집합 사건 $P(S \cap E)$ 의 확률 계산

우리가 구해야 할 것은 전제조건($X \ge 2$)과 목표조건(3회차에 $x_3=1, y_3=2$)을 모두 만족하는 확률입니다. 시행을 전반부(1~3회)와 후반부(4~5회)로 분할하여 독립시행을 적용합니다.

▶ 전반부 (1~3회 시행)

사건 A가 1번, 사건 B가 2번 발생해야 합니다.

$$ P(\text{전반부}) = {}_3\mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{27} = \frac{108}{243} $$

* 분모를 243으로 통일하기 위해 확장함

▶ 후반부 (4~5회 시행)

전반부에 사건 A가 1번 발생했으므로, 전체 5번 중 사건 A가 2번 이상($X \ge 2$) 되려면, 남은 2번의 시행에서 사건 A가 적어도 1번은 발생해야 합니다. (여사건 활용)

$$ P(\text{후반부}) = 1 - P(\text{남은 2번 모두 B 발생}) = 1 - {}_2\mathrm{C}_0 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $$

두 과정은 서로 독립이므로 확률을 곱합니다.

$$ P(S \cap E) = \frac{12}{27} \times \frac{5}{9} = \frac{60}{243} $$
Step 5

최종 조건부확률 도출

조건부확률의 정의에 따라 최종 정답을 구합니다.

$$ P(E | S) = \frac{P(S \cap E)}{P(S)} = \frac{ \frac{60}{243} }{ \frac{131}{243} } = \frac{60}{131} $$

따라서 $\frac{q}{p} = \frac{60}{131}$ 이며, 131은 소수이므로 60과 서로소인 자연수 조건을 만족합니다. $p=131$, $q=60$ 입니다.

$$ p + q = 131 + 60 = 191 $$

정답 : ③ 191

3 이론 매칭

독립시행의 확률 조건부확률 여사건의 확률 확률의 곱셈정리 부정방정식의 정수해 조건

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

오개념 1 : $a_k = b_k$가 되는 $k$값을 임의로 유추하는 실수

문제에서 '자연수 $k(1 \le k \le 5)$'라고 명시되어 있어, 많은 학생들이 $k=1, 2, 3, 4, 5$ 각각의 경우를 모두 대입하여 표를 그려 계산하려 합니다. 이는 시간을 극도로 낭비하게 하며 계산 실수를 유발합니다.

해결책 및 대수적 증명 : 앞선 Step 3의 유도과정($3x_k = k$)처럼, 각 시행의 변화량을 변수($x_k$)로 치환하여 식을 세우면, $k$가 반드시 3의 배수여야 한다는 대수적 제약 조건이 도출됩니다. 이 수학적 모델링이 이 문제의 핵심 타임 세이버(Time-saver)입니다.

오개념 2 : 분모가 되는 전제사건을 간과한 확률 계산

조건부확률의 기호인 '~일 때'를 무시하고, 단순 교집합 확률 $P(S \cap E)$인 $\frac{60}{243}$ 만을 답으로 산출하거나, 여사건을 적용할 때 전체 표본공간인 $1$에서 빼는 실수를 합니다.

교정 : '~일 때' 앞의 문장은 항상 축소된 새로운 표본공간이 됩니다. 즉 분모가 전체 확률 $1$이 아니라 $P(a_5+b_5 \ge 7)$이 되어야 합니다.

5 핵심 이론 증명 : 독립시행의 확률 유도

이 문항의 핵심 도구인 독립시행의 확률 공식이 어떻게 유도되는지 논리적 과정을 증명합니다.

정의 : 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 확률을 $p$, 일어나지 않을 확률을 $q$ ($q = 1-p$)라 할 때, 이 시행을 $n$번 독립적으로 반복하는 것을 독립시행이라 합니다.

논리적 유도 :

  • $n$번의 시행 중 사건 A가 정확히 $r$번 일어나는 한 가지 특정한 순서를 생각해 봅시다. (예: O O X O X ...)
  • 각 시행은 독립이므로, 확률의 곱셈정리에 의해 이 특정한 순서가 나타날 확률은 $p \times p \times q \times p \times q \times \dots = p^r q^{n-r}$ 가 됩니다.
  • 이제 $n$번의 자리 중에서 사건 A가 일어날 $r$개의 자리를 선택하는 경우의 수를 구해야 합니다. 이는 조합(Combination)의 정의에 따라 ${}_n\mathrm{C}_r$ 가지가 존재합니다.
  • 이 ${}_n\mathrm{C}_r$ 가지의 각각의 순서 배치는 서로 배반사건(동시에 일어날 수 없음)이므로, 확률의 덧셈정리에 의해 $p^r q^{n-r}$ 을 ${}_n\mathrm{C}_r$ 번 더하게 됩니다.
$$ P(X = r) = {}_n\mathrm{C}_r p^r q^{n-r} \quad (단, r=0, 1, 2, \dots, n) $$

* 이 공식은 이항정리 $(p+q)^n$ 의 일반항과 정확히 일치하며, 이를 이항분포의 확률질량함수라고 부릅니다.

시행 경로 및 조건 시각화 시뮬레이터

■ 시뮬레이터 이해하기

  • 이 그래프는 주사위를 던질 때마다 변하는 (흰 공의 개수, 검은 공의 개수)의 변화를 보여줍니다. 즉, 각 시행($n$)마다 좌표 $(a_n, b_n)$이 어떻게 이동하는지 추적합니다.
  • 사건 A (5 이상) : 흰 공 2개 추가 $\rightarrow$ 오른쪽으로 2칸 이동
  • 사건 B (4 이하) : 검은 공 1개 추가 $\rightarrow$ 위로 1칸 이동
  • 전제 조건 : 5번의 시행 후 도착한 점의 좌표 합이 7 이상이어야 합니다. (파란색 영역)
  • 목표 조건 : 이동하는 중간 단계인 $k$번째 시행에서 흰 공과 검은 공의 개수가 같아지는 순간(붉은 점선, $aₙ=bₙ$ 통과)이 있어야 합니다.

💡 캔버스를 마우스로 드래그하여 이동하거나 휠을 스크롤하여 확대/축소할 수 있습니다.

버튼을 눌러 5번의 시행 경로를 시각적으로 분석하세요.