Step 1

탄젠트 함수의 기본 성질과 연속 구간 확인

주어진 함수는 $f(x) = a - \sqrt{3} \tan 2x$ 입니다. 먼저 기본형인 $y = \tan 2x$ 의 주기와 점근선을 분석해야 합니다. 탄젠트 함수 $y = \tan x$ 의 주기는 $\pi$ 이므로, $y = \tan 2x$ 의 주기는 다음과 같습니다.

점근선의 방정식은 $2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$ 은 정수) 에서 $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ 가 됩니다. 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[ -\frac{\pi}{6}, b \right]$ 에서 최댓값과 최솟값을 모두 가지려면 최대·최소 정리에 의해 해당 구간에서 연속이어야 합니다. 즉, 이 구간 내에 점근선이 포함되어서는 안 됩니다. $-\frac{\pi}{6}$ 보다 큰 첫 번째 양의 점근선은 $n=0$ 일 때인 $x = \frac{\pi}{4}$ 이므로, 구간의 오른쪽 끝값 $b$는 반드시 $\frac{\pi}{4}$ 보다 작아야 합니다. 따라서 $b$ 의 범위는 $-\frac{\pi}{6} < b < \frac{\pi}{4}$ 가 되어야 함을 수학적으로 엄밀하게 확정할 수 있습니다.

Step 2

함수 $f(x)$ 의 증감 파악 (단조성)

함수 $y = \tan 2x$ 는 점근선을 제외한 각 구간에서 항상 증가(단조증가)하는 함수입니다. 여기에 음수 $-\sqrt{3}$ 이 곱해진 함수 $y = -\sqrt{3} \tan 2x$ 는 $x$ 축에 대해 대칭 이동된 형태이므로 항상 감소(단조감소)하는 함수가 됩니다. 상수 $a$ 를 더하여 평행이동 하더라도 감소하는 성질은 변하지 않습니다.

따라서 감소 함수의 성질에 의해, 정의역 $\left[ -\frac{\pi}{6}, b \right]$ 에서 양 끝값을 가질 때 최대 및 최솟값이 결정됩니다.

• $x = -\frac{\pi}{6}$ 일 때, 최댓값을 가진다.
• $x = b$ 일 때, 최솟값을 가진다.

Step 3

최댓값 조건을 이용한 상수 $a$ 계산

$x = -\frac{\pi}{6}$ 에서 함수는 최댓값 $7$ 을 가지므로, 이를 함수 식에 대입합니다.

탄젠트 함수는 기함수($\tan(-\theta) = -\tan\theta$)이므로, $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ 입니다.

따라서 함수는 $f(x) = 4 - \sqrt{3} \tan 2x$ 임을 확정할 수 있습니다.

Step 4

최솟값 조건을 이용한 상수 $b$ 계산 및 최종 답 도출

$x = b$ 에서 함수는 최솟값 $3$ 을 가지므로, 확정된 함수 식에 대입합니다.

앞서 파악한 바와 같이, $b$ 는 점근선 이내의 값이어야 하므로 $-\frac{\pi}{6} < b < \frac{\pi}{4}$ 범위에 있습니다. 이 구간 내에서 $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 을 만족하는 특수각은 $\theta = \frac{\pi}{6}$ 하나뿐입니다.

따라서 $a \times b$ 의 값은 $\frac{\pi}{3}$ 이며, 정답은 선택지 3번입니다.