두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 정적분의 성질
10.
두 곡선 $y=x^3+x^2$, $y=-x^2+k$ 와 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^3+x^2$, $y=-x^2+k$ 와 직선 $x=2$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$ 라 하자.
$A=B$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? (단, $4 < k < 5$) [4점]
이 문항은 두 다항함수 그래프의 교점과 넓이의 관계를 정적분으로 변환하여 해결하는 역량을 평가합니다.
두 함수를 $f(x) = x^3+x^2$, $g(x) = -x^2+k$ 라고 정의합시다. $x > 0$ 인 구간에서 두 곡선이 만나는 교점의 $x$좌표를 $c$ 라고 하면, 주어진 구간에서의 대소 관계에 따라 넓이 $A$와 $B$는 각각 다음 정적분으로 나타낼 수 있습니다.
문제의 핵심 조건은 $A = B$ 입니다. 이 식을 정리하면 교점 $c$를 직접 구하지 않고도 전체 구간에 대한 하나의 정적분 식으로 변환할 수 있습니다.
두 번째 적분 항의 피적분 함수 부호를 바꾸면 덧셈 기호로 변경됩니다.
적분 구간의 연결 성질 ($\int_a^c + \int_c^b = \int_a^b$) 에 의해 다음과 같이 매우 간결한 핵심 도출식을 얻습니다.
이제 식에 주어진 함수들을 대입하여 직접 정적분을 계산합니다. $f(x) - g(x)$ 를 정리하면 다음과 같습니다.
이 식을 $0$부터 $2$까지 정적분한 값이 $0$이 되어야 합니다.
위끝 $2$를 대입하고 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
이 값은 주어진 단서 조건인 $4 < k < 5$ (즉, $\frac{12}{3} < \frac{14}{3} < \frac{15}{3}$) 도 만족하므로, 정답은 ④번입니다.
오류 1 : 교점 $c$의 좌표를 직접 연산하려는 경우
두 곡선의 교점을 구하기 위해 $x^3+x^2 = -x^2+k \implies x^3+2x^2-k=0$ 의 3차 방정식을 풀려고 시도하는 학생들이 많습니다. 하지만 $k$가 미지수이므로 실근을 식으로 깔끔하게 표현할 수 없습니다. 넓이 $A=B$ 라는 거시적 조건을 정적분의 구간 합치기로 우회하는 것이 출제자가 의도한 최적의 풀이입니다.
오류 2 : 구간에 따른 피적분 함수의 위상(부호)을 간과하는 경우
$A = B$ 임을 식으로 세울 때, $A = \int_0^c (f(x)-g(x)) dx$ 처럼 위아래 함수를 반대로 빼면 부호 오류가 발생합니다. 이 문제에서는 $\int_0^2 = 0$ 이라는 결론이 우연히 같아질 수 있으나, 서술형이거나 부분 넓이를 묻는 문제에서는 치명적인 감점 요인이 됩니다. 반드시 그래프 개형을 통해 어느 함수가 위에 있는지 확인해야 합니다.
함수 $f(x)$와 $g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고, 구간 내의 단 하나의 점 $c$에서 교차한다고 가정합시다. (예: $[a, c]$에서 $g(x) \ge f(x)$, $[c, b]$에서 $f(x) \ge g(x)$)
정적분 $\int_a^b (g(x)-f(x))dx = A + (-B) = 0$
■ 시뮬레이터 조작 가이드
$f(x) = x^3+x^2$ 와 $g(x) = -x^2+k$ 의 그래프입니다. 상수 $k$ (위아래 이동)를 조정하여 붉은색 넓이(A)와 푸른색 넓이(B)가 같아지는 지점을 찾아보세요.