수능 출제 분석

원주각과 코사인법칙의 기하학적 해석

Q [문제 원문]

11. 그림과 같이 사각형 $ABCD$가 한 원에 내접하고

\overline{AB} = 5, \quad \overline{AC} = 3\sqrt{5}, \quad \overline{AD} = 7, \quad \angle BAC = \angle CAD

일 때, 이 원의 반지름의 길이는? [4점]

①$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

②$\frac{8\sqrt{5}}{5}$

③$\frac{5\sqrt{5}}{3}$

④$\frac{8\sqrt{2}}{3}$

⑤$\frac{9\sqrt{3}}{4}$

1 [출제의도]

이 문항은 평면기하학의 기본 성질(원주각)을 바탕으로, 공통 변을 가진 두 개의 삼각형에 코사인법칙을 연쇄적으로 적용하여 미지수를 구하고, 최종적으로 사인법칙을 통해 외접원의 반지름을 도출하는 종합적인 대수-기하 연계 능력을 평가합니다.

원주각의 크기가 같으면 대응하는 현의 길이가 같다는 성질을 파악하여 미지수를 최소화하는 추론 능력
두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle ACD$에서 공통 미지수에 대한 두 개의 방정식을 세우고 연립하는 대수적 계산력
도출된 삼각비의 값을 사인법칙에 대입하여 외접원의 반지름을 결정하는 문제 해결력

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

원주각의 성질을 이용한 미지수 설정

문제의 조건에서 $\angle BAC = \angle CAD$ 라고 주어졌습니다. 이 두 각의 크기를 $\theta$ 라고 설정합니다. 즉, $\angle BAC = \angle CAD = \theta$ 입니다.

한 원에서 크기가 같은 원주각에 대한 현의 길이는 서로 같습니다. 따라서 원주각 $\angle BAC$ 에 대한 현 $BC$ 와 원주각 $\angle CAD$ 에 대한 현 $CD$ 의 길이는 같습니다.

이 공통 현의 길이를 $x$ 라고 둡니다.

\overline{BC} = \overline{CD} = x

시각화 연계 : 우측 시뮬레이터의 슬라이더를 'Step 1'에 위치시키면, 같은 각을 가지는 원주각 $\theta$와 그에 대응하여 길이가 같아지는 현 $BC$, $CD$ 가 파란색으로 강조되는 것을 확인할 수 있습니다.

Step 2

두 삼각형에서 코사인법칙 적용

이제 변의 길이가 주어진 두 삼각형, $\triangle ABC$ 와 $\triangle ACD$ 에 각각 코사인법칙을 적용하여 $x$ 와 $\theta$ 에 대한 방정식을 구성합니다.

$\triangle ABC$ 에서의 코사인법칙 :

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos(\angle BAC) $$ $$ x^2 = 5^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \cos\theta $$ $$ x^2 = 25 + 45 - 30\sqrt{5}\cos\theta $$ $$ x^2 = 70 - 30\sqrt{5}\cos\theta \quad \cdots \text{(기억)}

$\triangle ACD$ 에서의 코사인법칙 :

\overline{CD}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{AD}^2 - 2 \cdot \overline{AC} \cdot \overline{AD} \cdot \cos(\angle CAD) $$ $$ x^2 = (3\sqrt{5})^2 + 7^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 7 \cdot \cos\theta $$ $$ x^2 = 45 + 49 - 42\sqrt{5}\cos\theta $$ $$ x^2 = 94 - 42\sqrt{5}\cos\theta \quad \cdots \text{(니은)}

시각화 연계 : 슬라이더를 'Step 2'로 이동하면, 코사인법칙이 적용되는 $\triangle ABC$ 와 $\triangle ACD$ 영역이 각각 구별되어 색칠됩니다. 공통 변 $AC$ 를 중심으로 식을 세우는 과정을 직관적으로 이해할 수 있습니다.

Step 3

연립방정식 풀이를 통한 삼각비와 현의 길이 계산

식 (기억)과 식 (니은)의 좌변이 모두 $x^2$ 으로 동일하므로, 두 식의 우변을 같다고 놓습니다.

70 - 30\sqrt{5}\cos\theta = 94 - 42\sqrt{5}\cos\theta $$ $$ 42\sqrt{5}\cos\theta - 30\sqrt{5}\cos\theta = 94 - 70 $$ $$ 12\sqrt{5}\cos\theta = 24 \implies \cos\theta = \frac{24}{12\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

사인법칙을 적용하기 위해 $\sin\theta$ 의 값이 필요합니다. 삼각함수의 성질 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 을 이용합니다. 삼각형의 내각 $\theta$ 의 범위는 $0 < \theta < \pi$ 이므로 $\sin\theta > 0$ 입니다.

\sin\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

이제 구한 $\cos\theta$ 를 식 (기억)에 대입하여 현의 길이 $x$ 구합니다.

x^2 = 70 - 30\sqrt{5} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = 70 - 60 = 10 \implies x = \sqrt{10}

Step 4

사인법칙을 이용한 외접원의 반지름 도출

삼각형 $ABC$ 가 내접하는 원은 사각형 $ABCD$ 가 내접하는 원과 정확히 동일합니다. 따라서 $\triangle ABC$ 에 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름 $R$ 을 구합니다.

\frac{\overline{BC}}{\sin(\angle BAC)} = 2R $$ $$ \frac{\sqrt{10}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2R \implies 2R = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$ $$ \therefore R = \frac{5\sqrt{2}}{2}

시각화 연계 : 슬라이더를 'Step 4'로 이동하면, 최종적으로 구해진 외접원의 중심과 반지름 $R$ 이 녹색으로 명확하게 렌더링됩니다. 좌표계 위에서 기하학적 형태가 완벽하게 들어맞는 것을 볼 수 있습니다.

3 [이론 매칭]

원주각과 중심각의 성질

같은 크기의 원주각에 대한 현의 길이는 동일하다는 고전 기하학의 기본 성질을 통해, 문제를 대수적으로 풀 수 있도록 미지수를 단일화하는 중요한 역할을 합니다.

코사인법칙

삼각형의 두 변의 길이와 끼인각의 코사인 값을 알 때 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는 법칙으로, 이 문제에서는 역으로 변들의 관계식을 만들어 각에 대한 정보를 도출합니다.

삼각함수 사이의 관계

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식을 활용하여, 코사인 값으로부터 사인 값을 유도하는 계산 과정이 포함됩니다.

사인법칙

삼각형의 한 변의 길이와 그 대각의 사인 값의 비가 외접원의 지름과 같다는 성질을 이용하여 최종 목적지인 원의 반지름을 계산합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 원주각이 같을 때 현의 길이가 같다는 기하학적 성질 간과

많은 학생들이 원주각의 크기가 같을 때 '호의 길이'가 비례하여 같아진다는 사실은 잘 인지하고 있으나, 두 점을 직선으로 이은 '현의 길이' 또한 완전히 동일해진다는 성질을 놓쳐 초기 미지수 $x$ 를 세팅하지 못하는 경우가 빈번합니다.

수학적 증명 : 같은 크기의 원주각에 대한 현의 길이는 왜 같은가?

반지름의 길이가 $R$ 인 원 중심을 $O$ 라 하고, 두 원주각 $\angle BAC = \angle DAF = \theta$ 라고 가정해 봅시다.

원주각과 중심각의 관계에 의해, 호 $BC$ 에 대한 중심각 $\angle BOC = 2\theta$ 이고, 호 $DF$ 에 대한 중심각 $\angle DOF = 2\theta$ 가 됩니다.
삼각형 $\triangle OBC$ 와 $\triangle ODF$ 를 관찰해 보면, 두 삼각형은 모두 원의 반지름을 두 변으로 가지는 이등변삼각형입니다. 즉, $\overline{OB} = \overline{OC} = \overline{OD} = \overline{OF} = R$ 입니다.
또한 두 변 사이의 끼인각이 $\angle BOC = \angle DOF = 2\theta$ 로 동일합니다.
따라서 두 변과 끼인각이 같으므로 SAS 합동에 의해 $\triangle OBC \equiv \triangle ODF$ 가 성립합니다.
합동인 두 삼각형의 대응변의 길이는 같으므로, 최종적으로 현의 길이 $\overline{BC} = \overline{DF}$ 가 성립합니다.

5 [핵심 이론 증명]

사인법칙 (Sine Rule) 의 기하학적 유도 과정

삼각형 $ABC$ 의 외접원의 반지름을 $R$ 이라 할 때, $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 이 성립함을 증명합니다. (각 $A$ 가 예각인 경우 기준)

점 $B$ 를 지나며 원의 중심 $O$ 를 통과하는 지름을 긋고, 이 지름이 원과 다시 만나는 점을 $A'$ 이라 합시다.
호 $BC$ 에 대한 원주각의 크기는 항상 일정하므로, 원주각의 성질에 의해 $\angle BAC = \angle BA'C$ 입니다. 즉, $A = A'$ 입니다.
선분 $BA'$ 은 외접원의 중심을 지나는 지름이므로 그 길이는 $2R$ 이며, 반원에 대한 원주각은 항상 직각이므로 $\angle BCA' = 90^\circ$ 가 됩니다.
따라서 직각삼각형 $\triangle A'BC$ 가 만들어지며, 직각삼각형에서의 삼각비의 정의에 따라 다음이 성립합니다.

\sin A' = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA'}} = \frac{a}{2R}

앞서 확인한 바와 같이 $A = A'$ 이므로 식을 $\sin A = \frac{a}{2R}$ 로 대치할 수 있으며, 이 식을 정리하면 우리가 아는 형태인 $2R = \frac{a}{\sin A}$ 가 완성됩니다. 직각과 둔각일 때도 동일한 논리로 증명할 수 있습니다.

기하학적 시뮬레이터

수학적 계산 과정을 기하학적 도형과 매칭하여 확인합니다. 슬라이더를 움직여 풀이 단계별 주요 조건을 관찰하세요.

풀이 진행 단계 표시 Step 1

현재 단계 핵심 내용

현의 길이 $BC = CD$ 임을 확인