수능 출제 분석

정적분으로 정의된 함수와 절댓값 함수의 추론

Q 문제 원문

12.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$n-1 \le x < n$ 일 때, $|f(x)| = |6(x-n+1)(x-n)|$ 이다.

(단, $n$은 자연수이다.)

열린구간 $(0, 4)$에서 정의된 함수

$g(x) = \int_0^x f(t)dt - \int_x^4 f(t)dt$

가 $x=2$ 에서 최솟값 $0$ 을 가질 때, $\int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)dx$ 의 값은? [4점]

① $-\frac{3}{2}$

② $-\frac{1}{2}$

③ $\frac{1}{2}$

④ $\frac{3}{2}$

⑤ $\frac{5}{2}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극소의 정의를 바탕으로 피적분 함수의 개형을 추론하는 역량을 평가합니다.

절댓값이 포함된 함수의 식을 해석하여 가능한 $f(x)$의 형태를 분류하는 능력
정적분으로 정의된 함수 $g(x)$를 미분하여 $g'(x)$의 부호 변화를 살피는 능력
최솟값 조건을 통해 각 구간별 $f(x)$의 부호(위상)를 확정짓는 논리적 추론력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

절댓값 조건 해석 및 $f(x)$의 개형 분석

조건에 따라 $|f(x)| = |6(x-n+1)(x-n)|$ 입니다. 이를 구간별로 전개해 봅니다.

$n=1 \implies x \in [0, 1)$ 일 때, $|f(x)| = |6x(x-1)| = -6x(x-1)$ (해당 구간에서 $6x(x-1) \le 0$ 이므로)
$n=2 \implies x \in [1, 2)$ 일 때, $|f(x)| = |6(x-1)(x-2)| = -6(x-1)(x-2)$

즉, $f(x)$는 각 길이 $1$인 구간 $[n-1, n]$에서 이차함수의 기본형 $y = -6x(x-1)$을 평행이동한 형태이거나, 이를 $x$축에 대해 대칭이동한 형태 중 하나를 취하게 됩니다. 어느 형태이든 양끝점(정수점)에서는 $0$이 되므로 실수 전체에서 연속이라는 조건에 위배되지 않습니다.

각 구간에서 $\int_{n-1}^n |f(x)| dx = \int_0^1 (-6x^2+6x) dx = \left[ -2x^3 + 3x^2 \right]_0^1 = 1$

결론적으로 각 구간 $[n-1, n]$에서 $f(x)$의 정적분 값은 +1 이거나 -1 입니다.

[참고도 1 : 각 구간별 $f(x)$가 가질 수 있는 두 가지 형태]

Step 2

$g(x)$의 미분 및 극소 조건 분석

주어진 함수 $g(x) = \int_0^x f(t)dt - \int_x^4 f(t)dt$ 를 미분하여 도함수를 구합니다. 정적분 구간의 성질을 이용해 식을 변형하는 것이 유리합니다.

g(x) = \int_0^x f(t)dt + \int_4^x f(t)dt $$ $$ \therefore g'(x) = f(x) + f(x) = 2f(x)

$g(x)$가 $x=2$에서 최솟값(극솟값)을 가지려면, $x=2$ 좌우에서 $g'(x)$ 즉, $2f(x)$의 부호가 음수에서 양수로 변해야 합니다.

$x < 2$ (구간 $[1, 2]$) 에서는 $f(x) < 0$ 이므로 적분값은 $-1$
$x > 2$ (구간 $[2, 3]$) 에서는 $f(x) > 0$ 이므로 적분값은 $+1$

이를 통해 $f(x)$는 구간 $[1, 2]$에서 아래로 볼록(음수), 구간 $[2, 3]$에서 위로 볼록(양수)한 형태임을 확정지을 수 있습니다.

Step 3

최솟값 $g(2)=0$ 조건으로 나머지 구간 확정

최솟값이 $0$이므로 $g(2) = 0$ 이 성립해야 합니다.

g(2) = \int_0^2 f(t)dt - \int_2^4 f(t)dt = 0 $$ $$ \implies \int_0^2 f(t)dt = \int_2^4 f(t)dt

각 구간 $[n-1, n]$의 정적분 값을 $A_n$ 이라 하면, $\int_0^2 f(t)dt = A_1 + A_2$ 이고 $\int_2^4 f(t)dt = A_3 + A_4$ 입니다. Step 2에서 $A_2 = -1, A_3 = 1$ 임을 구했으므로 대입합니다.

A_1 - 1 = 1 + A_4 \implies A_1 - A_4 = 2

$A_n \in \{-1, 1\}$ 이므로 이 등식을 만족하는 유일한 조합은 $A_1 = 1$ 이고 $A_4 = -1$ 일 때뿐입니다.
(동시에 열린구간 $(0, 4)$에서 $g(x) \ge 0$ 인지도 확인해야 하며, 이 조합은 모든 $x$에서 $g(x) \ge 0$을 만족합니다. 우측 시뮬레이터에서 직접 확인해 보세요.)

Step 4

최종 정적분 값 계산

우리가 구해야 할 값은 $\int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)dx$ 입니다. 적분 구간을 분할하여 계산합니다.

\int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx + \int_1^2 f(x)dx + \int_2^3 f(x)dx + \int_3^4 f(x)dx $$ $$ = \int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx + A_2 + A_3 + A_4

$A_2 = -1, A_3 = 1, A_4 = -1$ 이므로 뒷부분의 합은 $-1$ 입니다.
구간 $[0, 1]$ 에서 $A_1 = 1$ 이고 $f(x) = -6x(x-1)$ 입니다. 이차함수의 대칭성(축 $x=\frac{1}{2}$)에 의해 $\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)dx$ 는 전체 넓이 $A_1$의 절반인 $\frac{1}{2}$ 이 됩니다.

\therefore \int_{\frac{1}{2}}^4 f(x)dx = \frac{1}{2} + (-1) + 1 + (-1) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

최종 정답

$-\frac{1}{2}$

따라서 정답은 ②번입니다.

3 이론 매칭

정적분으로 정의된 함수 함수의 극대와 극소 (도함수의 부호 변화) 정적분의 성질 (구간 분할 및 선형성) 이차함수 그래프의 대칭성

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : 최솟값 조건의 불완전한 해석

오류 1 : $g'(2)=0$ 만으로 극소/최소를 단정짓는 경우

$g'(2)=0$ 은 $f(2)=0$ 을 의미하는데, 문제 조건 $|f(x)| = |...|$ 에서 $f(정수)=0$ 은 항상 성립하므로 새로운 단서가 되지 못합니다. 반드시 $x=2$ 좌우에서 도함수 $g'(x) = 2f(x)$ 의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변해야 한다는 점을 짚어내야 $A_2$ 와 $A_3$ 의 위상을 결정할 수 있습니다.
오류 2 : $A_1, A_4$ 결정 시 $g(x) \ge 0$ 조건을 간과함

$g(2)=0$ 이고 최솟값이 $0$이므로, 열린구간 $(0,4)$ 안의 모든 $x$에 대해 $g(x) \ge 0$ 이어야 합니다. 만약 $A_1 = -1$ 이었다면 $g(x)$ 는 $x=0$ 근처에서 음수로 출발하게 되어 모순이 발생합니다. 본 해설에서는 $A_n \in \{-1, 1\}$ 이라는 수식적 제약($A_1 - A_4 = 2$)으로 이를 돌파했지만, 그래프의 누적 넓이 관점으로도 반드시 교차 검증해야 완벽한 논리가 됩니다.

5 핵심 이론 증명 : 정적분으로 정의된 함수의 미분

정리 : 함수 $f(t)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$ 이다.

이 문제에서 $g'(x) = 2f(x)$ 를 도출하는 근간이 되는 이론입니다.

[증명]

$S(x) = \int_a^x f(t)dt$ 라 하자. 도함수의 정의에 의해 $S'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{S(x+\Delta x) - S(x)}{\Delta x}$ 이다.
분자를 적분의 성질로 정리하면, $S(x+\Delta x) - S(x) = \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t)dt$ 가 된다.
적분의 평균값 정리에 의해, 구간 $[x, x+\Delta x]$ 에 속하는 어떤 $c$ 에 대하여 $\int_x^{x+\Delta x} f(t)dt = f(c) \Delta x$ 를 만족한다.
따라서, $\frac{S(x+\Delta x) - S(x)}{\Delta x} = f(c)$ 가 된다.
$\Delta x \to 0$ 일 때, $c \to x$ 가 되고, $f$ 는 연속함수이므로 $\lim_{c \to x} f(c) = f(x)$ 이다.
결론적으로 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{S(x+\Delta x) - S(x)}{\Delta x} = f(x)$ 이므로 증명되었다.

함수 $f(x)$ 위상 추론 시뮬레이터

■ 시뮬레이터 조작 가이드

각 구간 $(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)$ 에 대하여 $f(x)$ 그래프의 방향(위/아래)을 버튼으로 클릭해 변경해보세요.
아래 초록색 그래프 $g(x)$ 가 $x=2$ 에서 최솟값 $0$을 갖도록 만들어야 합니다.
* 마우스 휠이나 터치로 그래프를 확대/축소하고 드래그하여 탐색할 수 있습니다.

구간 [0,1]

구간 [1,2]

구간 [2,3]

구간 [3,4]

g(2) = 0

조건 불만족

■ y = f(x) ■ y = g(x)