13. 자연수 $m$ ($m \ge 2$)에 대하여 $m^{12}$의 $n$제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수를 $f(m)$이라 할 때,
[4점]
참고 파일 : image_a636ef.png
이 문항은 거듭제곱근의 수학적 정의를 유리수 지수로 변환하여 대수적으로 해석하고, 결과값이 정수가 되기 위한 지수의 조건을 소인수분해와 약수의 개수라는 정수론적 지식과 연결하여 해결하는 능력을 평가합니다.
'$m^{12}$의 $n$제곱근' 중 실수인 것을 $x$라고 하면, 거듭제곱근의 정의에 의해 다음 방정식을 만족합니다.
$m$과 $n$이 모두 양의 정수이므로, $x$ 또한 양수입니다. 따라서 양변에 $\frac{1}{n}$ 제곱을 취하여 지수 형태로 변환합니다.
문제의 조건에서 이 값 $x$가 정수가 되야 한다고 명시하고 있습니다.
결과값 $m^{\frac{12}{n}}$이 정수가 되려면, 원칙적으로 지수인 $\frac{12}{n}$가 음이 아닌 정수여야 합니다. 하지만 주의할 점은 밑 $m$ 자체가 어떤 자연수의 거듭제곱 형태인 경우, 지수가 약분되어 정수가 될 수 있다는 것입니다.
따라서 $m$을 $m = k^c$ ($k$는 더 이상 거듭제곱 꼴로 표현할 수 없는 $2$ 이상의 자연수, $c$는 자연수) 형태로 나타내어야 합니다.
이제 $k$는 거듭제곱수가 아니므로, $x$가 정수가 되기 위한 필요충분조건은 지수 $\frac{12c}{n}$가 양의 정수가 되는 것입니다. (자연수의 양의 정수 제곱은 항상 자연수입니다.) 즉, $n$은 $12c$의 약수이어야 합니다.
$f(m)$은 조건을 만족하는 '$2$ 이상의 자연수 $n$'의 개수이므로, $12c$의 총 약수의 개수에서 $n=1$인 경우 $1$개를 빼주어야 합니다.
($f(m) = (12c\text{의 약수의 개수}) - 1$)
$\Sigma$ 안의 변수 $m$이 $2$부터 $9$까지이므로, 각 $m$에 대해 거듭제곱 지수 $c$를 구합니다.
| 자연수 $m$ | 소인수분해 ($k^c$) | 지수 $c$ | 분자 ($12c$) | 약수의 개수 |
|---|---|---|---|---|
| 2, 3, 5, 6, 7 | 자신 그대로 ($c=1$) | 1 | $12$ | 6개 |
| 4, 9 | $2^2, 3^2$ | 2 | $24$ | 8개 |
| 8 | $2^3$ | 3 | $36$ | 9개 |
각 그룹별로 $f(m)$을 계산합니다. $f(m)$은 약수의 개수에서 $1$을 빼야 함을 잊지 마세요.
최종적으로 주어진 시그마 값을 계산합니다.
따라서 정답은 계산된 결과값과 일치하는 보기 번호입니다.
고등학교 수학 I 과정. $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것을 지수 형태로 변환($a^{\frac{1}{n}}$)하여 계산의 편의성을 도모합니다.
지수가 정수 및 유리수로 확장될 때 $(a^m)^n = a^{mn}$ 이 성립함을 이용하여, 복잡한 거듭제곱을 단일 지수 형태로 축약합니다.
고등학교 수학(하) 경우의 수 및 중등 수학. 자연수 $N = p^a q^b$ 일 때, 약수의 개수가 $(a+1)(b+1)$개 임을 활용합니다.
수학 I 과정. 규칙성이 주기가 아닌 조건부로 변하는 함수 $f(m)$의 값을 일일이 나열하여 더하는 기호적 표현입니다.
가장 많은 오답을 유발하는 지점입니다. 학생들은 $m^{\frac{12}{n}}$ 수식을 보고 단순히 "$n$이 $12$를 나누어 떨어지게 해야 하니 $12$의 약수여야만 한다"고 착각합니다. 만약 $m=4$ 일 때, $n=8$ 이면 $4^{\frac{12}{8}} = 4^{\frac{3}{2}}$ 이 되어 지수가 분수이므로 정수가 아니라고 섣불리 판단하는 것입니다.
$m=4, n=8$ 인 상황을 대수적으로 증명해 봅시다.
여기서 밑 $4$는 소수가 아니며, $4 = 2^2$ 로 소인수분해 할 수 있습니다. 이를 식에 대입하여 지수법칙을 적용하면 다음과 같습니다.
결과값 $8$은 명백한 정수입니다. 이 증명은 밑 $m$ 안에 숨어있는 지수 $c$ ($m=k^c$)가 분모 $n$과 약분될 수 있음을 보여줍니다. 따라서 $n$은 단순한 $12$의 약수가 아니라, 확장된 지수인 $12c$의 약수를 찾아야 하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
우리가 $12c$의 약수를 구할 때 사용한 공식 $N = p^a q^b$ 일 때 약수의 개수는 $(a+1)(b+1)$ 이라는 공식을 조합론적 관점(곱의 법칙)으로 증명합니다.
예 : $12 = 2^2 \times 3^1 \rightarrow \text{약수 개수 } = (2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6\text{개}$
대수적 조건인 $n \times (\text{정수}) = 12c$ 는 기하학적으로 2D 좌표평면에서 쌍곡선 $y = \frac{12c}{x}$ 의 그래프 위에 있는 정수 격자점(Lattice point)을 찾는 것과 동일한 기하학적 성질을 유지합니다.
(단, 넓이 12c인 직사각형을 구성하는 가로, 세로 길이로도 해석 가능)