14. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
함수 $\displaystyle h(x) = \lim\limits_{t \to 0+} g(x+t) \times \lim\limits_{t \to 2+} g(x+t)$ 에 대하여
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
이 문항은 구간별로 다르게 정의된 함수의 우극한(Right-hand limit)을 새로운 함수로 정의하고, 그 곱으로 이루어진 함수의 연속성과 극한적 거동(최솟값의 존재 여부)을 추론하는 능력을 평가합니다.
해석의 편의를 위해 $g(x)$의 우극한 함수를 $R(x)$로 정의합시다.
각 구간 및 경계에서 우극한을 구하면 다음과 같습니다. $f(x)$는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속임을 유의하세요.
이를 종합하면 $R(x)$는 다음과 같이 정리됩니다.
이제 문제의 함수 $h(x)$를 $R(x)$를 이용하여 다시 씁니다. (두 번째 극한은 치환하면 $\lim\limits_{s \to x+2+} g(s) = R(x+2)$가 됩니다.)
$\therefore h(x) = R(x) \times R(x+2)$
$h(1)$의 값을 구하기 위해 도출한 $h(x)$ 식에 $x=1$을 대입합니다.
$R(x)$의 정의에 따라, $1 \ge 1$ 이고 $3 \ge 1$ 이므로 둘 다 마지막 구간의 규칙을 따릅니다.
따라서 보기 'ㄱ'은 참입니다.
함수 $h(x)$가 실수 전체에서 연속인지 확인해야 합니다. $R(x)$는 경계점 $x=-1, 1$에서 다항함수 $f(x)$의 값에 따라 불연속일 가능성이 있습니다.
$h(x) = R(x)R(x+2)$ 이므로 불연속 의심점은 $x = -1, 1$ 과 $x+2 = -1, 1$ (즉, $x = -3, -1$) 입니다.
여기서 $x = -3$ 에서의 연속성을 검증해 봅시다.
$x = -3$에서 연속이려면 좌극한과 함숫값이 같아야 하므로 $3 = -3f(-1)$, 즉 $f(-1) = -1$ 이어야 합니다. 하지만 $f(x)$는 임의의 다항함수이므로 반드시 $f(-1) = -1$ 을 만족할 이유는 없습니다. (예를 들어 $f(x)=0$ 이면 불연속입니다.)
따라서 $h(x)$는 실수 전체에서 항상 연속인 것은 아니므로 보기 'ㄴ'은 거짓입니다.
조건에 의해 구간 $[-1, 1]$에서 $f(x)$는 감소하고, $f(-1) = -2$ 입니다. 따라서 이 구간에서 $f(x) \le -2$ 이며, $f(1) \le -2$ 를 만족합니다. $h(x)$의 각 구간별 식을 구성하여 최솟값이 존재하는지 분석해 봅시다.
분석 결과를 종합하면, $h(x)$의 극한적 한계(가장 낮은 값으로 향하는 목표)는 $x \to 1-$ 일 때 도달하는 $3f(1)$ 입니다.
($f(1) \le -2$ 이므로 $3f(1) \le -6$ 이며, 다른 모든 구간의 함숫값보다 명백히 작습니다.)
하지만 $x=1$ 에서의 실제 함숫값은 $h(1)=3$ 으로 점프(도약)합니다.
우측 열린 구간 $[-1, 1)$ 에서 한없이 작아지지만 결코 도달하지 못하므로, 최솟값은 존재하지 않습니다.
따라서 보기 'ㄷ'은 거짓이며, 정답은 ①번(ㄱ) 입니다.
수학 II. 어떤 점 $a$에서 함수가 불연속일지라도, $x$가 $a$보다 큰 값을 가지며 접근할 때의 극한값인 $\lim_{x \to a+} g(x)$ 를 통해 새로운 함수를 엄밀하게 정의합니다.
수학 II. 두 함수의 곱 $P(x)Q(x)$ 가 연속이려면, 각각의 함수가 불연속이 될 수 있는 의심점에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 일치함을 보여야 합니다.
수학 II. '함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다'는 정리입니다. 본 문항에서는 열린구간과 불연속성을 통해 이 정리의 역이 성립하지 않는 상황을 묻습니다.
수학 II. 도함수 $f'(x) \le 0$ 임을 이용하여 곱함수의 미분법칙으로 도출된 새로운 함수의 도함수 부호를 판별하고, 감소 형태임을 확정합니다.
보기 ㄷ에서 "함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 감소"라는 문구를 보고, 학생들은 다항함수의 성질과 결합하여 '구간 끝에서 최소를 가지겠구나'라고 직관적인 착각을 합니다. 하지만 우리가 다루는 함수는 $g(x)$가 아니라 우극한으로 새롭게 조합된 $h(x)$입니다.
엄밀한 증명을 위해 '하한(Infimum)'이나 '엄밀히 감소(Strictly decreasing)'라는 대학 과정(해석학)의 용어를 차용할 수 있습니다. '하한'이란 열린 구간에서 최솟값이 없더라도 한없이 다가가는 한계값을 정의할 때 쓰입니다. 하지만 고등학교 교육과정에서는 이를 직접 다루지 않으므로, 본 해설에서는 대학 용어를 배제하고 '함수의 극한'과 '최대·최소의 정리의 역 성립 불가 조건'이라는 고교 과정 개념만으로 완벽하게 증명합니다.
우리가 파악한 $h(x)$의 최솟값 후보 구간은 $x \in [-1, 1)$ 입니다. 우측이 열려있습니다. 여기서 $h(x)$는 단조 감소하므로 값이 가장 작아지는 상태는 오른쪽 끝인 $x \to 1-$ 로 갈 때의 극한으로 파악할 수 있습니다.
고등학교 과정에 의하면, 이 함수가 최솟값을 '가진다'고 하려면 극한값 $3f(1)$을 실제 함숫값으로 가지는 정의역 내의 실수 $c$가 있어야 합니다 ($h(c) = 3f(1)$). 하지만 $x=1$에서의 함숫값은 $h(1)=3$ 으로, $3f(1)$ ($-6$ 이하의 값)과는 확연히 다릅니다. 목표 지점을 향해 한없이 내려가지만 마지막 순간 닿지 못하고 위로 도약해 버리므로, 이 함수는 최솟값을 갖지 않습니다.
직관적으로 음수 값과 양수 값이 곱해졌을 때 어떻게 변하는지 모호할 수 있습니다. 이를 도함수를 통해 명확히 증명합니다.
보기 ㄷ의 조건을 만족하는 선형 함수 $f(x)$ (기울기 $a \le 0$, $f(-1)=-2$)를 가정하여, 전체 함수 $h(x)$의 개형을 시각화합니다. $x=1$ 근방에서 함수가 최솟값을 향해 감소하다가 도약(Jump)하여 최솟값이 존재하지 않는 현상을 확인하세요.