조건을 만족하는 수열의 이전 항을 역으로 추적하여 가능한 경우의 수 분류하기
15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_9$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $M+m$의 값은? [4점]
(가) $a_7 = 40$
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여
이다.
이 문항은 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 주어진 조건(특정 항의 값)으로부터 이전 항들을 역추적하여 가능한 수열을 모두 찾아내는 논리적 추론 능력을 평가합니다.
우리가 구해야 하는 것은 $a_9$의 최댓값과 최솟값입니다. $a_7 = 40$임을 알고 있으므로, 조건 (나)에 $n=6, 7$을 대입하여 $a_9$를 향해 나아가는 식을 세워봅시다.
결론 : $a_9$의 값을 알려면 $a_8$을 알아야 하고, $a_8$을 알려면 반드시 $a_6$의 가능한 값들을 모두 찾아야 합니다.
조건 (나)에서 $n=5$를 대입하면, $a_6$의 3의 배수 여부에 따라 $a_7$이 결정됩니다.
이 경우 $a_7 = \frac{1}{3}a_6$ 이 성립해야 합니다.
$\implies 40 = \frac{1}{3}a_6 \implies a_6 = 120$
검증 : 120은 3의 배수가 맞습니다. 또한 이 역추적이 $a_1$까지 가능한지 확인해야 합니다. 만약 $a_5 = 360, a_4 = 1080, \dots$ 식으로 계속 3배씩 커지는 수열을 가정하면 항상 앞 항이 3의 배수가 되어 조건(나)의 두 번째 식만을 만족하며 $a_1$까지 무사히 도달할 수 있습니다. 따라서 $a_6 = 120$은 유효합니다.
이 경우 $a_7 = a_6 + a_5$ 가 성립해야 합니다. 즉, $40 = a_6 + a_5 \implies a_5 = 40 - a_6$ 입니다. 자연수 조건에 의해 $a_6 < 40$ 입니다.
이제 $a_5$가 어떻게 만들어졌는지 $n=4$ 일 때의 조건으로 한 번 더 역추적합니다.
조건에 의해 $a_6 = \frac{1}{3}a_5 \implies a_5 = 3a_6$ 입니다.
앞서 구한 식에 대입하면 : $40 - a_6 = 3a_6 \implies 4a_6 = 40 \implies a_6 = 10$
검증 : $a_6=10$(3의 배수 아님), $a_5=30$(3의 배수). 이 역시 $a_4=90, a_3=270 \dots$ 으로 $a_1$까지 거슬러 올라갈 수 있으므로 유효합니다.
조건에 의해 $a_6 = a_5 + a_4 \implies a_4 = a_6 - a_5$ 입니다.
$a_5 = 40 - a_6$ 이므로 대입하면 $a_4 = a_6 - (40 - a_6) = 2a_6 - 40$ 입니다.
다시 $a_4$의 3의 배수 여부로 나눕니다.
① $a_4$가 3의 배수인 경우 :
$a_5 = \frac{1}{3}a_4 \implies a_4 = 3a_5$. 즉, $2a_6 - 40 = 3(40 - a_6)$
$2a_6 - 40 = 120 - 3a_6 \implies 5a_6 = 160 \implies a_6 = 32$
검증 : $a_6=32$(3배수 아님), $a_5=8$(3배수 아님), $a_4=24$(3배수). 모두 유효!
② $a_4$가 3의 배수가 아닌 경우 :
$a_5 = a_4 + a_3 \implies a_3 = a_5 - a_4 = (40 - a_6) - (2a_6 - 40) = 80 - 3a_6$
$a_3, a_4 > 0$ 이려면 $a_6 < 26.6$ 이고 $a_6 > 20$ 이어야 합니다. 가능한 $a_6 \in \{22, 23, 25, 26\}$ ($21, 24$는 3의 배수라 제외). 하지만 이 값들을 대입해 보면 $a_4$나 $a_5$가 3의 배수가 되어 모순이 발생합니다. (예: $a_6=26$이면 $a_4=12$로 3의 배수). 따라서 이 경로는 해가 없습니다.
가능한 $a_9$의 값은 $24, 90, 200$ 입니다.
정답 : ⑤
이전 항들의 관계를 통해 다음 항을 결정하는 방식입니다. 이 문항은 $a_{n+1}$의 속성(3의 배수)에 따라 $a_{n+2}$를 결정하는 두 가지 규칙을 제시하고 있습니다.
역추적 과정에서 주어진 조건에 맞게 배수인지 아닌지를 가정하고, 모순이 발생하는 경로를 제거해 나가는 논리적 분류 기법이 사용되었습니다.
오류 : "역추적 시 $a_1$까지 확인하지 않고 중간에 멈춰서 오답을 낸다."
많은 학생들이 $a_7, a_6, a_5$ 정도까지만 구하고 이 수열이 과연 $a_1$부터 시작하는 '모든 항이 자연수'인 수열로 존재할 수 있는지 검증하지 않습니다.
어떤 역추적 단계에서 $a_{k+1}$이 3의 배수이고 $a_{k+2} = \frac{1}{3}a_{k+1}$ 관계를 만족한다고 가정해 봅시다.
조건 (나)에 의하면, $a_{k+1}$이 3의 배수일 때 $a_{k+2}$는 오직 $a_{k+1}$에 의해서만 결정되며 $a_k$의 값과는 무관합니다.
즉, $(a_{k+1}, a_{k+2})$ 상태가 이 분기를 타는 순간, 그 이전 항인 $a_k, a_{k-1} \dots a_1$ 은 무한히 많은 자연수 조합으로 구성될 수 있습니다. (예: 계속 3배씩 곱해나가는 수열을 선택하면 무조건 성립). 이를 '안전 노드'라 부를 수 있으며, 풀이에서 $a_5$나 $a_4$가 3의 배수가 되는 순간까지만 찾고 검증을 완료한 수학적 근거가 됩니다.
$a_7 = 40$에서 출발하여 역추적으로 찾아낸 3가지 가능한 수열 경로의 진행 양상을 2D 그래프로 확인하세요.