19. 방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
[3점]
이 문항은 미분을 활용하여 3차 함수의 그래프 개형을 완벽하게 파악하고, 방정식의 실근 문제를 두 함수 그래프의 기하학적 교점 문제로 변환하여 해결하는 능력을 평가합니다.
주어진 방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$ 을 그래프로 쉽게 해석하기 위해 상수 $k$를 우변으로 이항하여 분리합니다.
이제 좌변을 함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2$ 로, 우변을 함수 $y = -k$ 로 정의합니다. 문제에서 요구하는 서로 다른 양의 실근이 2개라는 조건은 기하학적으로 두 함수의 그래프가 $x > 0$ 인 영역(y축의 오른쪽)에서 정확히 두 번 만나야 함을 의미합니다.
함수 $f(x)$ 의 그래프 개형을 그리기 위해 미분하여 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다.
$f'(x) = 0$ 이 되는 임계점은 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 입니다. 이를 바탕으로 $x$ 의 구간에 따른 $f'(x)$ 의 부호를 조사합니다.
부호 변화를 통해 함수 $f(x)$ 의 극대와 극소 지점의 함숫값을 계산합니다.
따라서 함수 $f(x)$ 의 그래프는 원점 $(0, 0)$ 에서 극대(x축에 접함)를 이루고, 점 $(2, -8)$ 에서 극소값을 갖는 3차 곡선입니다.
직선 $y = -k$ 가 $x > 0$ 인 구간에서 $y = f(x)$ 의 그래프와 정확히 2번 만나기 위해서는, 직선이 극댓값(0)과 극솟값(-8) 사이를 지나야 합니다. 만약 $-k = 0$ 이면 교점이 $x=0$ 과 양수 하나가 되어 양의 실근은 1개뿐입니다.
부등식의 양변에 $-1$ 을 곱하여 부등호의 방향을 바꾸면 $k$ 의 범위를 얻을 수 있습니다.
이 범위를 만족하는 정수 $k$ 는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 이며, 총 7개입니다.
수학 II 과정. 방정식 $f(x)=g(x)$ 의 실근을 두 함수 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 교점의 x좌표로 해석하는 기하학적 통찰입니다.
수학 II 과정. 도함수 $f'(x)=0$ 인 지점 주변에서 부호가 변할 때, 원함수 $f(x)$ 의 산과 골을 찾는 원리입니다.
평균값 정리에 근간을 두어, 도함수의 부호가 양수이면 증가하고 음수이면 감소함을 판정합니다.
가장 흔한 오개념은 양수라는 조건을 무시하고, 단순히 3차 방정식이 3개의 실근을 가질 조건인 (극댓값) $\times$ (극솟값) $< 0$ 공식만을 맹목적으로 적용하는 것입니다. 이 문제에서는 원점 $(0,0)$ 이 극대이므로 다행히 오른쪽 영역(양의 실수)에서 2개의 교점이 형성되지만, 만약 함수가 평행이동 되어 있었다면 오답이 될 수밖에 없습니다.
상수 $k$ 를 이항하지 않고 $g(x) = 2x^3 - 6x^2 + k$ 통째로 분석하는 경우를 살펴봅시다.
이때 $g(x) = 0$ 이 양의 실근 2개와 음의 실근 1개를 가지려면, 극댓값 $k > 0$ 이고 극솟값 $k - 8 < 0$ 인 동시에, y절편인 $g(0) = k$ 가 반드시 양수여야 합니다. 만약 이 y절편 조건을 빼먹으면 근의 부호를 통제할 수 없습니다. 이항을 통해 $y=-k$ 라는 상수함수로 분리하는 것이 실수를 방지하는 가장 완벽한 기하학적 해결책입니다.
우리가 Step 2에서 도함수의 부호로 원래 함수의 모양을 추론할 수 있었던 근본적인 이유를 수학적으로 증명합니다. "도함수 $f'(x) > 0$ 이면 함수는 증가한다"는 성질의 유도입니다.
슬라이더를 조작하여 상수 $k$ 값을 변화시켜 보세요. 빨간색 직선 $y = -k$ 가 이동하면서 파란색 3차 함수 곡선과 만나는 초록색 교점(양의 실근)의 개수가 어떻게 유지되고 변하는지 직관적으로 확인할 수 있습니다.