수능 출제 분석

속도와 가속도를 통한 움직인 거리 추론

Q [문제 원문]

20. 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0 \le t \le 2$일 때, $v(t) = 2t^3 - 8t$이다.

(나) $t \ge 2$일 때, $a(t) = 6t + 4$이다.

시각 $t = 0$에서 $t = 3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리를 구하시오.

[4점]

①15

②16

③17

④18

⑤19

1 [출제의도]

이 문항은 물체의 운동 상태를 나타내는 가속도, 속도, 위치 사이의 미적분학적 관계를 완벽하게 이해하고 있는지 평가합니다. 특히 구간별로 다르게 주어진 함수 조건 속에서 속도 함수의 연속성을 추론해 내고, 정적분을 활용하여 '위치 변화량'이 아닌 실제 '움직인 거리'를 계산할 수 있는 능력을 묻는 핵심 문제입니다.

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

$0 \le t \le 2$ 구간에서의 속도 분석

조건 (가)에 의해 $0 \le t \le 2$일 때 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t)$는 다음과 같습니다.

$$ v(t) = 2t^3 - 8t = 2t(t^2 - 4) = 2t(t-2)(t+2) $$

주어진 구간 $0 \le t \le 2$에서 $t \ge 0$이고 $t-2 \le 0$이므로, 속도의 부호는 $v(t) \le 0$이 됩니다. 이는 점 $\mathrm{P}$가 원점(혹은 출발점)으로부터 음의 방향(왼쪽)으로 이동하고 있음을 기하학적으로 의미합니다.

Step 2

$t \ge 2$ 구간에서의 속도 함수 도출 및 연속성 적용

조건 (나)에서 가속도 $a(t) = 6t + 4$가 주어졌습니다. 가속도는 속도의 도함수이므로, 정적분을 통해 속도 함수를 구할 수 있습니다. 단, 적분 상수 $C$가 발생합니다.

v(t) = \int a(t) dt = \int (6t + 4) dt = 3t^2 + 4t + C \quad (t \ge 2)

자연계에 존재하는 물체의 속도는 순간적으로 단절되지 않으므로, 시각 $t=2$에서 속도 $v(t)$는 연속이어야 합니다. 즉, $t=2$에서의 좌극한(조건 가)과 우극한(조건 나)이 같아야 합니다.

t \to 2^-$ 일 때 : $v(2) = 2(2^3) - 8(2) = 16 - 16 = 0$ $t \to 2^+$ 일 때 : $v(2) = 3(2^2) + 4(2) + C = 12 + 8 + C = 20 + C$ $\therefore 20 + C = 0 \implies C = -20

따라서 $t \ge 2$일 때의 속도 함수는 $v(t) = 3t^2 + 4t - 20$ 로 완벽하게 특정됩니다.

Step 3

$0 \le t \le 2$ 구간에서의 움직인 거리 계산

움직인 거리는 속도의 절댓값인 속력($|v(t)|$)을 정적분하여 구합니다. 이 구간에서 $v(t) \le 0$이므로 부호를 반대로 바꾸어 적분합니다.

\int_{0}^{2} |v(t)| dt = \int_{0}^{2} -(2t^3 - 8t) dt = \int_{0}^{2} (-2t^3 + 8t) dt $$ $$ = \left[ -\frac{1}{2}t^4 + 4t^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{1}{2}(16) + 4(4) \right) - 0 $$ $$ = -8 + 16 = 8

Step 4

$2 \le t \le 3$ 구간에서의 움직인 거리 계산

해당 구간에서 $v(t) = 3t^2 + 4t - 20$ 입니다. $t \ge 2$일 때 $3t^2 \ge 12$이고 $4t \ge 8$이므로 $3t^2 + 4t \ge 20$이 되어 $v(t) \ge 0$임을 확인할 수 있습니다. 따라서 절댓값을 그대로 벗고 적분합니다.

\int_{2}^{3} |v(t)| dt = \int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 20) dt $$ $$ = \left[ t^3 + 2t^2 - 20t \right]_{2}^{3} $$ $$ = (27 + 18 - 60) - (8 + 8 - 40) = (-15) - (-24) = 9

Step 5

최종 움직인 거리 산출

$t=0$에서 $t=3$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 총 거리는 두 구간에서 구한 넓이의 합입니다.

\text{총 움직인 거리} = \int_{0}^{2} |v(t)| dt + \int_{2}^{3} |v(t)| dt = 8 + 9 = 17

따라서 정답은 17입니다.

3 [이론 매칭]

부정적분과 도함수

수학 II 과정. 가속도 함수를 부정적분하여 속도 함수를 도출하는 원리입니다. 적분 상수 $C$의 발생을 반드시 인지해야 합니다.

함수의 연속성

수학 II 과정. 구간이 나뉘어 정의된 함수가 특정 지점에서 연속일 조건(좌극한=우극한=함숫값)을 이용하여 미지수 $C$를 결정합니다.

정적분의 활용 (움직인 거리)

수학 II 과정. 위치 변화량($\int v(t)dt$)과 움직인 거리($\int |v(t)|dt$)의 수학적, 기하학적(넓이) 차이를 구분하는 핵심 개념입니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 '위치 변화량(변위)'과 '움직인 거리'의 혼동

많은 학생들이 정적분을 맹목적으로 수행하여 $\int_{0}^{3} v(t) dt$ 를 계산하는 치명적인 실수를 범합니다. 이 경우 $v(t)$의 부호가 변하는 것을 무시하게 되어 실제 물체가 이동한 궤적의 총합을 구하지 못합니다.

수학적 증명 : 잘못된 적분의 결과 비교

만약 절댓값을 씌우지 않고 정적분을 수행한다면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

\int_{0}^{3} v(t) dt = \int_{0}^{2} v(t) dt + \int_{2}^{3} v(t) dt = (-8) + 9 = 1

이 값 $1$은 $t=0$일 때의 위치를 원점이라고 가정했을 때, $t=3$일 때 물체의 최종 좌표(위치)입니다. 처음 2초 동안 왼쪽으로 8만큼 갔다가, 다음 1초 동안 오른쪽으로 9만큼 돌아왔기 때문에 최종 위치는 $+1$이 되는 것입니다. 하지만 문제에서 요구한 '움직인 거리'는 방향에 상관없이 소비한 에너지를 의미하므로 $|-8| + |9| = 17$로 계산하는 것이 타당함을 기하학적으로 증명할 수 있습니다.

5 [핵심 이론 증명]

위치 함수 $x(t)$와 속도 함수 $v(t)$의 관계 증명 (수학 II)

왜 속도를 적분하면 위치 변화량이 되는지, 도함수의 정의를 통해 논리적으로 유도합니다.

시각 $t$에서의 물체의 위치를 함수 $x(t)$라고 정의합니다.
매우 짧은 시간 간격 $\Delta t$ 동안 발생한 위치의 변화량을 $\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t)$ 라고 합니다.
평균 속도는 이 시간 간격 동안의 단위 시간당 위치 변화량이므로 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 로 정의됩니다.
시각 $t$에서의 '순간 속도' $v(t)$는 시간 간격 $\Delta t$를 한없이 $0$에 가깝게 보낼 때의 극한값입니다. $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = x'(t)$
즉, 속도 함수 $v(t)$는 위치 함수 $x(t)$의 도함수입니다. 미적분학의 기본 정리에 의해, $v(t)$를 $t=a$부터 $t=b$까지 정적분하면 위치 함수의 함숫값 차이(위치 변화량)가 도출됨이 증명됩니다. $\int_{a}^{b} v(t) dt = \int_{a}^{b} x'(t) dt = [x(t)]_{a}^{b} = x(b) - x(a)$

동역학 시각화 : 속도-시간 그래프와 실제 운동

시간 $t$ 슬라이더를 움직여 점 $\mathrm{P}$의 운동을 관찰하세요. 상단 그래프는 속도 $v(t)$를 나타내며 곡선 아래의 면적(적분값)이 이동 거리를 누적합니다. 하단 수직선은 점 $\mathrm{P}$의 실제 1차원 운동 위치($x$)를 보여줍니다.

v-t 그래프 (마우스/터치로 확대 및 이동 가능)

시각 t 선택 (0 ~ 3)

음의 이동 (0~2s)

양의 이동 (2~3s)

t = 0.00

현재 속도 v(t) 0.00

현재 위치 x(t) 0.00

누적 움직인 거리 : 0.00