지수·로그함수의 절댓값 그래프와 방정식의 실근

구간 : $x < 0$ 에서의 지수함수 그래프 분석

$x < 0$ 일 때, 함수는 $y = |3^{x+2} - n|$ 입니다. 원래 함수 $y = 3^{x+2} - n$ 은 증가하는 지수함수이며, 점근선은 $y = -n$ 입니다. 절댓값을 씌우면 $x$축 아래 부분이 꺾여 올라가게 됩니다.

• 점근선 : $\lim_{x \to -\infty} |3^{x+2} - n| = |-n| = n$ 이므로 점근선은 $y = n$ 입니다.
• 경계점(y축 교점 방향) : $x \to 0^-$ 일 때, $y \to |3^2 - n| = |9 - n|$ 입니다.
• x축과의 교점 존재 조건 : 그래프가 $x$축과 만나 꺾여 올라가기(bounce) 위해서는 원래 함수의 $x$절편이 $x < 0$ 범위 안에 있어야 합니다.
  $3^{x+2} - n = 0 \implies x = \log_3 n - 2 < 0 \implies \log_3 n < 2 \implies n < 9$

$n < 9$ 일 때, 이 구간에서 상수함수 $y = t$ 와 교점이 최대 2개 발생할 수 있습니다. 교점이 2개가 되기 위한 $t$의 범위는 점근선과 우측 경계값 중 더 작은 값보다 아래에 있어야 하므로 다음과 같습니다.

구간 : $x \ge 0$ 에서의 로그함수 그래프 분석

$x \ge 0$ 일 때, 함수는 $y = |\log_2(x+4) - n|$ 입니다. 점의 출발은 $x=0$ 일 때 $y = |\log_2(4) - n| = |2 - n|$ 입니다.

• x축과의 교점(꺾이는 점) : $\log_2(x+4) - n = 0 \implies x+4 = 2^n \implies x = 2^n - 4$ 입니다.
• 교점 존재 조건 : 이 점이 정의역 $x \ge 0$ 에 포함되려면 $2^n - 4 \ge 0 \implies n \ge 2$ 이어야 합니다.

$n \ge 2$ 일 때, 그래프는 $(0, n-2)$ 에서 출발하여 $x = 2^n-4$ 에서 $x$축에 닿은 후 계속 증가합니다. 따라서 이 구간에서 상수함수 $y = t$ 와 교점이 최대 2개 발생하기 위해서는 $t$가 $y$절편값 이하이어야 합니다.

실근의 개수 최댓값이 4가 될 조건식 수립

전체 실수 전체 집합에서 $g(t)$ 의 최댓값이 4가 되려면, $x < 0$ 구간에서 교점이 2개 나오고, 동시에 $x \ge 0$ 구간에서도 교점이 2개 나오는 실수 $t$가 반드시 존재해야 합니다. 즉, 두 구간의 $t$의 조건 범위가 공통 부분(교집합)을 가져야 합니다.

조건을 만족하는 자연수 $n$ 도출 및 합산

Step 3의 부등식을 풀어보겠습니다.
$n-2 > 0$ 이므로 $n \ge 3$ 입니다.
$\min(n, |9-n|) > 0$ 조건에 의해 $n > 0$ 이고 $|9-n| > 0$ 이어야 합니다. 즉, $n \ne 9$ 입니다.
또한 앞선 분석에서 $x < 0$ 구간에서 'bounce' 현상이 일어나야 하므로 $n < 9$ 라는 숨은 제약 조건도 함께 고려되어야 합니다.

위 조건을 만족하는 자연수 $n$은 $3, 4, 5, 6, 7, 8$ 입니다.

최종 정답 도출

구해진 모든 자연수 $n$의 합을 구합니다.

따라서 정답은 33 입니다.