22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(1) + (x - 1)f'(g(x))$ 이다.
(나) 함수 $g(x)$의 최솟값은 $\frac{5}{2}$ 이다.
(다) $f(0) = -3, f(g(1)) = 6$
이 문항은 조건 (가)에 제시된 식을 통해 평균변화율과 순간변화율의 관계(평균값의 정리)를 대수적 함수 관계로 해석할 수 있는지를 평가합니다. 더불어 삼차함수의 도함수인 이차함수의 대칭성을 활용하여, 연속함수 $g(x)$가 가질 수 있는 값의 범위와 그 최솟값이 결정되는 원리를 논리적으로 추론하는 고도의 사고력을 요구하는 킬러 문항입니다.
조건 (가)의 식을 $x \ne 1$ 일 때 양변을 $x - 1$ 로 나누면 다음과 같습니다.
우변은 두 점 $(1, f(1))$과 $(x, f(x))$를 잇는 직선의 기울기(평균변화율)를 의미합니다. 편의상 이 평균변화율 함수를 $h(x)$ 라고 정의합시다.
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 로 둡니다.
또한 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 입니다. 따라서 조건 (가)는 다음과 같은 방정식으로 정리됩니다.
방정식 $3X^2 + 2aX + b = h(x)$ 를 $X$에 대하여 완전제곱식으로 변형하면,
$g(x)$는 실수 전체에서 연속이므로, 제곱근 앞의 부호는 도중에 바뀔 수 없습니다($\pm$ 중 하나로 고정).
함수 $g(x)$ 는 근호를 포함한 두 가지 궤적, 즉 대칭축 $y = -\frac{a}{3}$ 을 기준으로 윗부분($+$ 기호)과 아랫부분($-$ 기호)의 두 갈래 경로를 가집니다. 만약 $x$ 의 값에 따라 $+$ 경로를 타다가 $-$ 경로로 부호를 갈아탄다고 가정해 봅시다.
함수가 끊어짐 없이 연속이려면, 부호를 갈아타는 특정 지점($x=k$)에서 $+$ 일 때의 함수값과 $-$ 일 때의 함수값이 정확히 일치하여 궤적이 만나야 합니다. 이는 곧 근호 안의 식이 $0$ 이 되어 윗가지와 아랫가지가 접합되는 순간이 존재해야 함을 의미합니다.
그러나 뒤의 과정에서 밝혀지듯 근호 안의 식은 항상 양수(최솟값이 양수)를 유지합니다. 두 경로가 허공에서 서로 떨어져 존재하므로, 이 상태에서 부호를 갈아타면 그래프에 물리적인 끊어짐(Jump 불연속)이 발생합니다. 따라서 "실수 전체에서 연속"이라는 조건은 $g(x)$ 가 중간에 점프하지 않고, 처음부터 끝까지 오직 하나의 부호 경로만을 일관되게 따라가야 함을 강제하는 필수적인 대수적 제약 조건입니다.
우변의 $h(x)$가 대칭축 $x = -\frac{a+1}{2}$ 에서 최솟값을 가질 때, 근호 안의 값이 최소가 되어 고정된 부호에 따라 전체 $g(x)$도 최솟값을 갖게 됩니다.
우선 $x = 1$ 일 때 극한을 취해보면, 조건 (가)에 의해 $f'(g(1)) = h(1) = f'(1)$ 이 성립합니다.
$3(g(1))^2 + 2ag(1) + b = 3(1)^2 + 2a(1) + b$ 이므로, $g(1)$은 $1$ 또는 $-\frac{2a}{3} - 1$ 이 됩니다.
이때 조건 (나)에서 $g(x)$의 최솟값이 $\frac{5}{2}$ 라고 하였으므로, $g(1) \ge \frac{5}{2}$ 이어야 합니다. 따라서 $g(1) = 1$ 은 불가능하며, $g(1) = -\frac{2a}{3} - 1$ 로 확정됩니다.
$g(1) > 1$ 이 성립해야 하므로, $g(x)$는 $-\frac{a}{3}$ (대칭축)보다 큰 쪽, 즉 $(+)$ 기호가 붙은 윗가지(upper branch) 함수입니다.
$h(x)$를 표준형으로 고치면 $h(x) = \left(x + \frac{a+1}{2}\right)^2 + \frac{-a^2+2a+3}{4} + b$ 가 됩니다.
이를 근호 안에 대입하여 정리하면 루트 안의 식의 최솟값은 $\frac{(a+3)^2}{36}$ 이 됩니다.
루트는 증가함수이므로, $g(x)$의 최솟값은 다음과 같이 결정됩니다.
$g(1) = -\frac{2a}{3} - 1 \ge \frac{5}{2}$ 에서 $a \le -3$ 임을 알 수 있습니다. 따라서 $|a+3| = -(a+3)$ 으로 풀립니다.
조건 (나)에서 이 최솟값이 $\frac{5}{2}$ 라고 하였으므로, $\frac{-a-1}{2} = \frac{5}{2} \implies -a - 1 = 5 \implies a = -6$ 입니다.
$a = -6$ 을 대입하여 $g(1)$ 을 구하면, $g(1) = -\frac{2(-6)}{3} - 1 = 4 - 1 = 3$ 입니다.
조건 (다)를 이용합니다.
모든 계수가 결정되었습니다. 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ 입니다.
마지막으로 구하고자 하는 $f(4)$ 의 값을 계산합니다.
따라서 정답은 13 입니다.
수학 II 미분법. 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능한 함수에 대하여 두 점을 잇는 평균변화율과 동일한 미분계수를 갖는 점이 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 정리입니다.
수학 II 함수의 연속. 함수 $g(x)$ 가 실수 전체에서 연속이므로, 제곱근 앞의 부호 선택 시 끊어짐(jump)이 발생하지 않도록 한 가지 부호로 유지되어야 함을 판단하는 근거가 됩니다.
고등수학(상). 함수식을 완전제곱식 꼴로 변형하여 대칭축을 찾고 제한된 범위 혹은 실수 전체에서의 최솟값을 구하는 대수적 기본기입니다.
수학 II 및 심화수학. 삼차함수의 도함수가 대칭축을 가지는 이차함수라는 성질을 이용하여 $f'(A) = f'(B)$ 일 때 대칭성에 의해 두 점이 대칭축으로부터 같은 거리에 있음을 활용합니다.
상당수의 수험생들이 $x \to 1$ 로 극한을 보낼 때 나오는 식 $f'(g(1)) = f'(1)$ 만을 보고, 직관적으로 $g(1) = 1$ 이라고 성급하게 결론을 내립니다. 이는 $f'(x)$ 가 일대일 함수가 아니라는 사실을 망각한 치명적인 실수입니다.
$f(x)$ 는 최고차항이 $1$ 인 삼차함수이므로, $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 는 대칭축이 $x = -\frac{a}{3}$ 인 아래로 볼록한 이차함수입니다.
방정식 $f'(A) = f'(B)$ 가 성립하기 위한 필요충분조건은 다음과 같습니다.
따라서 $f'(g(1)) = f'(1)$ 에서 도출될 수 있는 결론은 $g(1) = 1$ 이거나 $g(1) = -\frac{2a}{3} - 1$ 입니다. 문제 조건 (나)에서 최솟값이 $\frac{5}{2}$ 로 주어졌으므로, 논리적으로 $g(1)$ 이 $1$ 이 될 수 없음을 모순 증명법(Proof by Contradiction)으로 확정 지어야 합니다.
이 문제를 빠르고 정확하게 풀기 위해서는 다항식의 나눗셈을 통해 평균변화율 식 $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 을 이차함수 $h(x)$ 꼴로 깔끔하게 떨어뜨리는 대수적 조작이 핵심입니다.
정리 유도 과정 :
이차항 계수 $a$의 값을 슬라이더로 조절하며 연속함수 $g(x)$ 의 형태와 그 최솟값이 어떻게 변하는지 직관적으로 확인하세요. 문제의 정답 상황인 $a = -6$ 일 때 최솟값이 정확히 $\frac{5}{2}$ (2.5)에 도달함을 볼 수 있습니다.