수능 출제 분석

정적분과 급수의 합 사이의 관계

Q [문제 원문]

24. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}}$ 의 값은? [3점]

1$\frac{4}{3}$
2$\frac{13}{9}$
3$\frac{14}{9}$
4$\frac{5}{3}$
5$\frac{16}{9}$

1 [출제의도]

이 문항은 무한급수로 표현된 식을 정적분으로 변환하여 계산하는 능력을 평가합니다. 주어진 식에서 어떤 부분을 적분 변수 $x$ 로 치환할지 결정하고, 그에 따른 적분 구간과 미소 구간 $dx$ 를 정확히 매칭할 수 있는지 묻는 전형적이면서도 매우 중요한 미적분 교과 역량 측정 문항입니다. 더불어 무리함수의 정적분 계산 능력도 함께 점검합니다.

2 [상세 풀이]

Step 1

적분 변수 $x$ 의 설정과 구간 파악

급수를 정적분으로 고칠 때, 가장 계산이 편리한 방법은 근호 안의 식 전체나 변화하는 부분을 $x$ 로 치환하는 것입니다. 여기서는 식 전체를 치환하는 가장 일반적인 방법을 사용하겠습니다.

$$ x_k = 1 + \frac{3k}{n} $$

로 설정합니다. $k=1$ 일 때 극한을 취하면 하한이 되고, $k=n$ 일 때 극한을 취하면 상한이 됩니다.

  • 적분 구간의 시작 (하한) : $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{3 \cdot 1}{n} \right) = 1$
  • 적분 구간의 끝 (상한) : $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{3 \cdot n}{n} \right) = 1 + 3 = 4$

따라서 적분 구간은 $[1, 4]$ 가 됩니다.

Step 2

미소 구간 $dx$ 와 식의 형태 맞추기

$x_k$ 의 식에서 $k$ 가 1씩 증가할 때 $x_k$ 의 변화량인 $\Delta x$ 를 구합니다.

$$ \Delta x = x_k - x_{k-1} = \frac{3}{n} $$

$n \to \infty$ 일 때 $\Delta x$ 는 정적분의 $dx$ 가 됩니다. 하지만 주어진 문제의 식에는 $\frac{3}{n}$ 이 아니라 $\frac{1}{n}$ 이 곱해져 있습니다. 따라서 식을 조작하여 $\frac{3}{n}$ 형태를 만들어 주어야 합니다.

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{n} \right) \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} $$ $$ = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \cdot \left(\frac{3}{n}\right) $$
[참고 도형 1] 급수와 정적분의 1:1 대응 관계 1 + (3k/n) x lim Σ ∫ (1→4) (3/n) dx
Step 3

정적분 식으로의 변환

Step 1과 2에서 구한 요소들을 조합하여 주어진 급수를 정적분으로 변환합니다.

$$ \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \cdot \left(\frac{3}{n}\right) = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx $$
Step 4

무리함수의 정적분 계산

이제 정적분을 계산하기 위해 $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ 임을 이용하여 원시함수를 구합니다.

$$ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C $$

이를 바탕으로 위끝과 아래끝을 대입하여 계산을 마무리합니다.

$$ \frac{1}{3} \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} $$ $$ = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} \right) $$

여기서 $4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ 이므로,

$$ = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{3} = \frac{14}{9} $$

따라서 정답은 ③번과 같습니다.

3 [이론 매칭]

정적분과 급수의 합 사이의 관계

미적분. 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 구간 $[a, b]$ 를 $n$ 등분할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\frac{b-a}{n} = \int_{a}^{b} f(x) dx$ 가 성립하는 성질입니다.

거듭제곱 함수의 부정적분

미적분. 실수 $n$ ($n \neq -1$)에 대하여 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ 임을 이용해 유리수 지수를 가진 무리함수를 적분합니다.

지수법칙 (유리수 지수)

수학 I. 무리수 $\sqrt{x}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 변환하고, 계산 과정에서 $(a^m)^n = a^{mn}$ 의 성질을 활용하여 $4^{\frac{3}{2}} = 8$ 을 도출합니다.

수열의 극한 기본 성질

미적분. 극한 기호 안의 상수배 $\frac{1}{3}$ 은 극한 기호 밖으로 빼내어 계산할 수 있다는 $\lim c \cdot a_n = c \lim a_n$ 성질을 사용했습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 $\Delta x$ 와 주어진 식의 $\frac{1}{n}$ 을 그대로 매칭하는 오류

많은 학생들이 $x_k = 1 + \frac{3k}{n}$ 로 두고 적분 구간을 $[1, 4]$ 로 올바르게 구하고서도, 식 밖에 있는 $\frac{1}{n}$ 을 아무런 조작 없이 그대로 $dx$ 로 바꾸어 계산하는 치명적인 실수를 범합니다.

수학적 증명 : $x_k$ 설정에 따른 종속적인 $dx$ 도출

리만 합의 정의에 의해 미소 구간 $\Delta x$ 는 임의로 정하는 것이 아니라, 설정한 $x_k$ 에 의해 강제 결정됩니다.

$x_k = a + \frac{p \cdot k}{n}$ 라고 설정하면,

$x_{k} - x_{k-1} = \left(a + \frac{p \cdot k}{n}\right) - \left(a + \frac{p(k-1)}{n}\right) = \frac{p}{n} = \Delta x$ 가 됩니다.

본 문항에서는 $p=3$ 이므로 반드시 식 외부에 $\frac{3}{n}$ 이 존재해야 $dx$ 로 치환이 가능합니다. $\frac{1}{n}$ 이 있었다면 식의 값에 변함이 없도록 $\frac{3}{n} \times \frac{1}{3}$ 로 쪼개는 과정이 논리적으로 필수적입니다.

5 [핵심 이론 증명]

상합과 하합, 조임 정리(Squeeze Theorem)를 이용한 정적분의 정의

급수가 어떻게 정적분으로 수렴하는지, 고등학교 심화수학 및 미적분학의 엄밀한 접근 방식인 '상합(Upper Sum)'과 '하합(Lower Sum)', 그리고 '조임 정리'를 통해 증명합니다. 일반성을 잃지 않기 위해 함수 $f(x)$ 가 구간 $[a, b]$ 에서 증가하는 연속함수라고 가정하겠습니다.

[참고 도형 2] 하합 (Lower Sum) . . . f(xk) . . . y = f(x) a=x0 x1 ⋯ xk-1 xk xk+1 ⋯ xn-1 b=xn
[참고 도형 3] 상합 (Upper Sum) . . . f(xk) . . . y = f(x) a=x0 x1 ⋯ xk-1 xk xk+1 ⋯ xn-1 b=xn

논리적 증명 단계 :

  1. 구간의 분할: 닫힌구간 $[a, b]$ 를 $n$ 등분하여 각 소구간의 길이를 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 로 두고, 양 끝점과 분점을 $a=x_0, x_1, \cdots, x_n=b$ 라 합니다.
  2. 최댓값과 최솟값 설정: 각 소구간 $[x_{k-1}, x_k]$ 에서 함수 $f(x)$ 의 최솟값을 $m_k$, 최댓값을 $M_k$ 라고 합니다. 함수가 증가하므로 $m_k = f(x_{k-1})$, $M_k = f(x_k)$ 가 됩니다.
    ※ 시각적 이해를 극대화하기 위해, 위 그림에서는 공통된 높이 $f(x_k)$ 를 공유하는 상합의 $k$번째 구간 $[x_{k-1}, x_k]$과 하합의 $(k+1)$번째 구간 $[x_k, x_{k+1}]$을 강조하여 비교했습니다.
  3. 상합과 하합의 정의: 곡선 아래에 내접하는 직사각형들의 넓이의 합을 하합(Lower Sum) $L_n$, 곡선 밖으로 외접하는 직사각형들의 넓이의 합을 상합(Upper Sum) $U_n$ 이라고 정의합니다. 인덱스 $k$를 맞추어 표현하면 다음과 같습니다.
    $$ L_n = \sum_{k=1}^{n} m_k \Delta x = \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \Delta x $$ $$ U_n = \sum_{k=1}^{n} M_k \Delta x = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x $$
  4. 부등식의 성립: 곡선 $y=f(x)$ 와 $x$축으로 둘러싸인 실제 넓이를 $S$ 라고 하면, 기하학적으로 항상 다음의 부등식이 성립합니다.
    $$ L_n \le S \le U_n $$
  5. 극한의 적용 및 상쇄: 위 시각화에서 보듯 하합의 직사각형들은 상합의 직사각형들을 오른쪽으로 한 칸($\Delta x$)씩 이동한 것과 같습니다. 따라서 $n$ 이 무한히 커질 때 상합과 하합의 차이를 계산하면 공통된 중간 항들은 모두 상쇄되고 양 끝 단의 넓이만 남게 됩니다.
    $$ \lim_{n \to \infty} (U_n - L_n) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x - \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \Delta x \right) = \lim_{n \to \infty} \left\{ f(x_n) - f(x_0) \right\} \Delta x $$
    $\Delta x \to 0$ 이므로 결국 양 끝단 직사각형의 넓이 차이도 $0$ 이 되어 $\lim_{n \to \infty} (U_n - L_n) = 0$ 이 성립합니다. 즉, $\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} U_n$ 입니다.
  6. 조임 정리(Squeeze Theorem)의 결론: 극한의 대소 관계 성질(조임 정리)에 의하여 $L_n \le S \le U_n$ 에서 양변에 극한을 취하면, 좌변과 우변이 모두 공통된 극한값으로 수렴하므로 가운데 끼인 실제 넓이 $S$ 또한 이 값과 완벽히 일치하게 됩니다. 이를 정적분 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 로 정의합니다.
    $$ \therefore S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$

리만 합 수렴 시뮬레이터 (2D)

슬라이더를 움직여 분할 수 n을 증가시켜 보세요. 직사각형들의 넓이 합(급수)이 곡선 아래의 넓이(정적분)로 어떻게 수렴해 가는지 시각적으로 확인할 수 있습니다.

y = √(x)
x축
y축
등분 개수 (n) 조절 n = 5
1100 (∞ 근사)
직사각형 넓이의 합 (급수) 1.000
실제 정적분 값 (수렴값) 1.555 (14/9)