24. 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 $4000$ 이상인 홀수의 개수는? [3점]
이 문항은 주어진 조건(크기 조건 및 홀수/짝수 조건)을 만족하는 경우의 수를 분류하고, 각 자리 숫자를 결정하는 과정에서 독립적으로 선택이 이루어짐을 파악하여 곱의 법칙과 중복순열을 올바르게 적용할 수 있는지를 평가합니다.
네 자리 자연수를 구성하기 위해 각 자리를 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리로 나눕니다. 문제에서 요구하는 조건은 두 가지입니다.
첫째, 자연수가 4000 이상이어야 합니다.
둘째, 자연수가 홀수이어야 합니다.
만들어진 수가 $4000$ 이상이 되려면, 천의 자리 숫자는 $4$ 또는 $5$가 되어야 합니다.
경우의 수 : 2가지
자연수가 홀수가 되려면 일의 자리 숫자는 홀수이어야 합니다. 주어진 숫자 중 홀수는 $1, 3, 5$ 입니다.
경우의 수 : 3가지
중복을 허락하므로 백의 자리와 십의 자리에는 $1, 2, 3, 4, 5$ 모두 올 수 있습니다.
백의 자리 경우의 수 : 5가지
십의 자리 경우의 수 : 5가지
각 자리의 숫자를 정하는 사건은 서로 독립적으로 연달아 일어나므로 곱의 법칙을 적용합니다.
두 사건 $A, B$에 대하여 사건 $A$가 일어나는 경우의 수가 $m$가지이고, 그 각각에 대하여 사건 $B$가 일어나는 경우의 수가 $n$가지일 때, 두 사건 $A, B$가 잇달아 일어나는 경우의 수는 $m \times n$이다.
서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택해 일렬로 나열하는 순열. 기호로는 ${}_n\Pi_r = n^r$ 로 나타낸다. (본 문항의 백, 십의 자리가 이에 해당)
학생들이 가장 자주 하는 실수는 '홀수'라는 조건을 망각하고 일의 자리에 $1, 2, 3, 4, 5$ 모두 올 수 있다고 생각하여 $2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250$으로 계산하는 것입니다.
조건이 여러 개 주어졌을 때는, 각 자리에 배정될 수 있는 집합을 명확히 정의하는 것이 중요합니다.
네 자리 수를 집합의 순서쌍 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ 로 정의합시다.
전체 숫자 집합 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 에 대하여,
- 천의 자리 집합 $A = \{x \in U \mid x \ge 4\} = \{4, 5\}$
- 백/십의 자리 집합 $B = C = U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
- 일의 자리 집합 $D = \{x \in U \mid x\text{는 홀수}\} = \{1, 3, 5\}$
우리가 구하고자 하는 대상은 집합 $A \times B \times C \times D$ 의 원소의 개수입니다.
집합론의 정리에 의해 유한집합들의 데카르트 곱의 원소의 개수는 각 집합의 원소의 개수의 곱과 같습니다.
$|A \times B \times C \times D| = |A| \times |B| \times |C| \times |D| = 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$.
이처럼 엄밀한 집합 설정을 거치면 조건을 누락하는 실수를 방지할 수 있습니다.
공간을 드래그하거나 스크롤하여 이동, 마우스 휠로 확대/축소