25. 흰색 마스크 $5$개, 검은색 마스크 $9$개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 $3$개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $3$개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? [3점]
이 문항은 주어진 상자에서 여러 개의 대상을 임의로 추출할 때 발생하는 전체 사건의 경우의 수를 조합을 이용하여 구하고, '적어도'라는 조건이 포함된 사건의 확률을 여사건의 확률을 이용하여 효과적으로 계산할 수 있는지 평가합니다.
상자 안에는 흰색 마스크 $5$개와 검은색 마스크 $9$개가 있습니다. 즉, 전체 마스크의 개수는 $5 + 9 = 14$개입니다.
이 중에서 임의로 $3$개의 마스크를 동시에 꺼내는 시행을 합니다. 순서를 고려하지 않고 추출하므로 조합(Combination)을 사용합니다.
여사건 $A^{C}$ 가 발생하려면 검은색 마스크 $9$개 중에서만 $3$개를 추출해야 합니다.
분모와 분자를 $28$로 약분하면 $ P(A^{C}) = \frac{3}{13} $ 이 됩니다.
어떤 사건과 그 여사건의 확률의 합은 $1$이므로, $P(A) = 1 - P(A^{C})$ 를 이용하여 최종 확률을 구합니다.
따라서 정답은 ⑤번 입니다.
서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수. 기호로 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ 로 나타낸다.
사건 $A$ 가 일어나지 않을 사건을 $A^{C}$ 라 할 때, $P(A^{C}) = 1 - P(A)$ 가 성립한다.
표본공간 $S$ 의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$ 가 일어날 확률 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ 이다.
'적어도'라는 표현을 보고도 여사건을 떠올리지 못해 직접 사건을 분류하여 계산하다가 일부 케이스를 누락하거나 계산 실수를 범하는 경우가 잦습니다. 직접 분류할 경우의 복잡성을 수학적으로 비교 증명해보겠습니다.
사건 $A$ (적어도 1개 흰색)를 직접 구하기 위해 서로 배반인 사건들로 분할합니다.
$A_1$ : 흰색 1개, 검은색 2개 추출 $ \Rightarrow n(A_1) = {}_{5}\mathrm{C}_{1} \times {}_{9}\mathrm{C}_{2} = 5 \times 36 = 180 $
$A_2$ : 흰색 2개, 검은색 1개 추출 $ \Rightarrow n(A_2) = {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times {}_{9}\mathrm{C}_{1} = 10 \times 9 = 90 $
$A_3$ : 흰색 3개 추출 $ \Rightarrow n(A_3) = {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times {}_{9}\mathrm{C}_{0} = 10 \times 1 = 10 $
따라서 $ n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 180 + 90 + 10 = 280 $.
$ P(A) = \frac{280}{364} = \frac{70}{91} = \frac{10}{13} $.
결과는 동일하지만, $3$번의 조합 계산과 곱셈, 덧셈을 수행해야 하므로 여사건 $A^{C}$ 를 구하여 $1 - P(A^{C})$ 를 계산하는 것보다 연산량이 월등히 많아 실수할 확률이 높아집니다.
확률의 공리적 정의를 바탕으로 여사건의 확률 공식을 논리적으로 유도합니다.
어떤 시행의 표본공간을 $S$, 임의의 사건을 $A$ 라 하고, 그 여사건을 $A^{C}$ 라 하자.
여사건의 정의에 의해 $A$ 와 $A^{C}$ 의 합집합은 표본공간 전체이고, 교집합은 공집합이다.
즉, $ S = A \cup A^{C} $, $ A \cap A^{C} = \emptyset $ 이다.
확률의 덧셈정리에 의하여 서로 배반사건인 두 사건의 합사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같으므로,
$ P(S) = P(A \cup A^{C}) = P(A) + P(A^{C}) $ 가 성립한다.
이때, 표본공간 $S$ 가 일어날 확률 $P(S)$ 는 항상 $1$ 이므로,
$ 1 = P(A) + P(A^{C}) $ 가 성립한다.
이를 이항하여 정리하면 우리가 사용하는 공식이 유도된다.
$ \therefore P(A^{C}) = 1 - P(A) \iff P(A) = 1 - P(A^{C}) $