입체도형의 부피와 삼각함수의 적분
Q [문제 원문]
26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{\sec^2 x + \tan x} \quad \left(0 \le x \le \frac{\pi}{3}\right)$ 와 $x$축, $y$축 및 직선 $x = \frac{\pi}{3}$ 로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
1 [출제의도]
이 문항은 정적분을 활용하여 단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피를 구하는 능력을 평가합니다. $x$축에 수직인 단면이 정사각형이라는 기하학적 성질을 이용하여 단면의 넓이를 함수식으로 세우고, $\sec^2 x$ 와 $\tan x$ 를 포함하는 삼각함수의 부정적분을 정확히 계산할 수 있는지를 묻고 있습니다. 치환적분법의 기초적인 원리도 함께 점검합니다.
2 [상세 풀이]
밑면의 경계와 단면의 한 변의 길이 파악
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 모두 정사각형입니다. 임의의 좌표 $x \left(0 \le x \le \frac{\pi}{3}\right)$ 에 대하여, 이 정사각형 단면이 밑면과 맞닿는 선분은 $y=0$ (즉, $x$축)부터 $y = \sqrt{\sec^2 x + \tan x}$ 까지 이어집니다.
따라서 단면인 정사각형의 한 변의 길이를 $s(x)$ 라고 하면 다음과 같습니다.
단면의 넓이 함수 $S(x)$ 도출
$x$축에 수직으로 자른 단면이 모두 정사각형이므로, $x$ 에서의 단면의 넓이 $S(x)$ 는 한 변의 길이 $s(x)$ 의 제곱과 같습니다.
부피를 구하는 정적분 식 세우기
입체도형의 부피 $V$ 는 주어진 구간 $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 에서 단면의 넓이 $S(x)$ 를 $x$ 에 대해 정적분한 값입니다.
삼각함수의 정적분 계산
적분의 선형성에 의해 두 부분으로 나누어 부정적분을 구합니다.
1. $\int \sec^2 x \, dx = \tan x$
2. $\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x|$
(치환적분: $\cos x = t$ 로 두면 $-\sin x \, dx = dt$ 이므로 유도됨)
따라서 원시함수를 적용하여 정적분 값을 계산합니다. 구간 $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 에서 $\cos x > 0$ 이므로 절댓값은 생략할 수 있습니다.
로그의 성질 $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$ 를 적용하면,
따라서 정답은 ④번과 같습니다.
3 [이론 매칭]
단면의 넓이를 이용한 입체도형의 부피
미적분. $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 $S(x)$ 가 주어질 때, 부피는 $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$ 로 정의됨을 적용합니다.
삼각함수의 부정적분
미적분. $(\tan x)' = \sec^2 x$ 임을 역으로 이용하여 $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ 임을 떠올려야 합니다.
치환적분법 (Integration by Substitution)
미적분. 피적분함수가 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 꼴인 경우, 분모를 치환하여 $\ln|f(x)|$ 형태로 적분해내는 기법입니다. ($\tan x$ 적분에 필수적)
로그의 성질
수학 I. 진수의 거듭제곱은 로그 앞으로 나올 수 있다는 성질 $\log_a(x^n) = n\log_a x$ 을 활용하여 식을 정리합니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 $\tan x$ 의 적분을 공식으로 암기하지 못해 당황하는 오류
$\sec^2 x$ 의 적분은 교과서에서 기본 공식으로 다루어 쉽게 해내지만, $\tan x$ 의 적분을 만났을 때 바로 $-\ln|\cos x|$ 를 떠올리지 못해 시간을 지체하는 학생들이 많습니다.
수학적 증명 : 치환적분법을 활용한 $\tan x$ 의 적분
함수 $\tan x$ 를 사인과 코사인의 비율로 변환한 후, 치환적분법을 적용하여 공식을 스스로 유도할 수 있어야 합니다.
여기서 $\cos x = t$ 로 치환합니다. 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $-\sin x = \frac{dt}{dx}$ 즉, $\sin x \, dx = -dt$ 가 됩니다.
이러한 유도 과정을 평소에 숙지해두면, 시험장에서 기억이 나지 않더라도 즉각적으로 대응할 수 있습니다.
5 [핵심 이론 증명]
단면적을 이용한 부피 공식의 구분구적법적 유도
왜 단면적을 적분하면 입체도형의 부피가 나오는지, 고등학교 미적분 교과서의 접근 방식(리만 합)을 통해 증명합니다.
증명 과정 :
- 구간 $[a, b]$ 에 존재하는 입체도형을 생각합니다. 이 구간을 $n$ 등분하여 양 끝점과 분점을 $a = x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n = b$ 라 합니다.
- 각 소구간의 길이를 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이라 하고, 이 소구간 $[x_{k-1}, x_k]$ 에서 임의의 점 $x_k^*$ 를 선택합니다.
- 단면의 넓이를 나타내는 함수가 연속함수 $S(x)$ 일 때, 높이가 $\Delta x$ 이고 밑넓이가 $S(x_k^*)$ 인 얇은 기둥(근사 원기둥 등)을 만듭니다.
- 이 기둥 하나의 부피는 $\Delta V_k \approx S(x_k^*) \Delta x$ 입니다.
- 입체도형 전체 부피 $V$ 는 이 기둥들의 부피 합의 극한으로 정의됩니다.
$$ V = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} S(x_k^*) \Delta x $$
- 정적분의 정의에 따라 이 무한급수는 정적분으로 변환됩니다.
$$ \therefore V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx $$
3D 부피 생성 시뮬레이터
마우스로 드래그하여 3차원 공간을 회전해 보세요. 슬라이더를 움직이면 $x$축을 따라 이동하는 정사각형 단면이 어떻게 입체도형을 구성하는지 직관적으로 확인할 수 있습니다.