26. 좌표평면에서 세 벡터
에 대하여 두 벡터 $\vec{p}, \vec{q}$ 가
를 만족시킬 때, $|\vec{p} - \vec{q}|$ 의 최솟값은? [3점]
이 문항은 벡터의 내적이 $0$ 이라는 조건이 기하학적으로 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식(또는 직교 조건)을 의미함을 파악하는지 평가합니다. 또한 실수의 배수로 표현되는 직선의 방정식 위를 움직이는 점 $\vec{q}$와 원 위를 움직이는 점 $\vec{p}$ 사이의 거리의 최솟값을 기하학적 위치 관계로 정확히 변환하여 해결하는 추론 능력을 측정합니다.
벡터의 내적이 $0$ 이라는 것은 두 벡터가 서로 수직임을 의미합니다. 위치벡터를 좌표로 표현하여 점 $\vec{p} = (x, y)$ 라 하면, 주어진 점은 각각 $\vec{a} = (2, 4)$, $\vec{b} = (2, 8)$ 입니다.
두 벡터의 내적을 계산하면 다음과 같습니다.
이는 두 점 $A(2, 4)$ 와 $B(2, 8)$ 을 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 나타냅니다.
지름의 양 끝 점 $A(2, 4)$ 와 $B(2, 8)$ 로부터 원의 중심 $C$ 와 반지름 $r$ 을 구합니다.
따라서 점 $\vec{p}$가 그리는 자취는 중심이 $(2, 6)$ 이고 반지름이 $2$ 인 원방정식 $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$ 입니다.
벡터 $\vec{a} = (2, 4)$ 와 $\vec{c} = (1, 0)$ 을 대입하여 점 $\vec{q}$ 의 좌표를 구합니다.
실수 $t$ 가 모든 실숫값을 가질 때, 점 $\vec{q}$ 가 나타내는 자취는 직선 $y = 2$ 입니다.
벡터의 차에 대한 기하학적 의미:
위치벡터의 뺄셈 정의에 의해 $\vec{p} - \vec{q} = \overrightarrow{QP}$ 가 성립합니다. 따라서 이 벡터의 크기인 $|\vec{p} - \vec{q}|$ 는 좌표평면 상에 놓인 점 $Q(\vec{q})$ 와 점 $P(\vec{p})$ 사이의 직선 거리를 의미합니다.
문제에서 점 $P$ 는 원 $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$ 위를 움직이고, 점 $Q$ 는 직선 $y = 2$ 위를 자유롭게 움직입니다. 결과적으로 $|\vec{p} - \vec{q}|$ 의 최솟값을 구하라는 것은 기하학적으로 원 위의 임의의 점과 직선 위의 임의의 점 사이의 최단 거리를 구하라는 것과 동일합니다. 이 거리는 원의 중심에서 직선까지의 수직 거리에서 반지름을 뺀 값으로 도출됩니다.
따라서 정답은 ② 2 입니다.
기하. 두 벡터의 내적이 0일 때 이루는 각이 $90^{\circ}$임을 이용하며, 이를 좌표로 변환하여 원의 방정식을 유도하는 핵심 원리입니다.
기하. 정점과 방향벡터의 실수배 합으로 표현되는 직선의 자취를 좌표평면 위에 대수적으로 해석하는 과정입니다.
수학 I/기하. 원의 중심에서 직선까지의 최단 거리를 구한 후 반지름을 빼어 점과 도형 사이의 최소 거리를 산출하는 표준 공식입니다.
기하. 두 위치벡터의 차 벡터 $\vec{p} - \vec{q}$ 가 기하학적으로 두 점 사이의 거리를 의미함을 이해하는 성질입니다.
학생들은 대개 벡터 방정식을 그대로 연산하려다 막히는 경우가 많습니다. $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$ 이 지름의 양 끝 점이 만드는 원임을 기억하지 못하면, $x, y$ 성분을 미지의 수로 두고 식을 풀려다 미궁에 빠지게 됩니다.
두 점 $A(\vec{a}), B(\vec{b})$ 에 대하여 선분 $AB$ 를 지름으로 하는 원 위의 임의의 점을 $P(\vec{p})$ 라 할 때, 원주각의 성질에 의하여 $\angle APB = 90^{\circ}$ 입니다.
따라서 이 조건은 항상 선분 $AB$를 지름으로 하는 원을 유일하게 결정하므로, 좌표평면에서 즉시 원의 중심과 반지름을 확정할 수 있습니다.
원 위를 움직이는 점 $P$ 와 직선 위를 움직이는 점 $Q$ 사이의 거리의 최솟값을 기하학적으로 증명합니다.
증명 과정 :
원($\vec{p}$의 자취)과 직선($\vec{q}$의 자취)의 기하학적 관계를 시각적으로 확인하세요. 슬라이더로 직선의 y절편을 움직이며 거리의 변화를 직접 체험할 수 있습니다.