확률의 덧셈정리와 조합의 활용
Q [문제 원문]
26.
주머니에 $1$이 적힌 흰 공 $1$개, $2$가 적힌 흰 공 $1$개, $1$이 적힌 검은 공 $1$개, $2$가 적힌 검은 공 $3$개가 들어 있다.
이 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다.
이 시행에서 꺼낸 $3$개의 공 중에서 흰 공이 $1$개이고 검은 공이 $2$인 사건을 $A$, 꺼낸 $3$개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 $8$인 사건을 $B$라 할 때, $P(A \cup B)$의 값은? [3점]
1 [출제의도]
이 문항은 주어진 조건에 맞는 사건을 파악하고 조합(Combination)을 이용하여 각 사건의 경우의 수를 구하는 능력과, 확률의 덧셈정리를 활용하여 두 사건의 합사건의 확률을 정확히 계산할 수 있는지를 평가합니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 표본공간의 모델링 및 전체 경우의 수
주머니 안에는 총 $6$개의 공이 있습니다.
- 흰 공 (White) : $1$번 $1$개, $2$번 $1$개 $\rightarrow$ 총 $2$개
- 검은 공 (Black) : $1$번 $1$개, $2$번 $3$개 $\rightarrow$ 총 $4$개
전체 $6$개의 공 중에서 임의로 $3$개를 동시에 꺼내므로 전체 경우의 수 $n(S)$는 조합을 이용해 구합니다.
Step 2 : 사건 $A$의 확률 계산
사건 $A$ : 꺼낸 $3$개의 공 중에서 흰 공이 1개, 검은 공이 2개인 사건.
이는 흰 공 $2$개 중에서 $1$개를 뽑고, 검은 공 $4$개 중에서 $2$개를 뽑는 경우입니다.
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{20} $
Step 3 : 사건 $B$의 확률 계산
사건 $B$ : 꺼낸 $3$개의 공에 적힌 수의 곱이 8인 사건.
공에 적힌 숫자는 $1$과 $2$ 뿐이므로, 세 수의 곱이 $8$이 되려면 반드시 $2, 2, 2$가 나와야 합니다.
따라서 $2$가 적힌 공 총 $4$개(흰 공 $1$개, 검은 공 $3$개) 중에서 $3$개를 뽑는 경우입니다.
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{20} $
Step 4 : 교사건 $A \cap B$의 확률 계산
교사건 $A \cap B$ : 흰 공 1개, 검은 공 2개를 뽑으면서 동시에 그 숫자들의 곱이 8인 사건.
세 수의 곱이 $8$이려면 뽑힌 공의 숫자는 모두 $2$여야 합니다. 따라서 숫자 2가 적힌 흰 공 1개와 숫자 2가 적힌 검은 공 2개를 뽑는 경우입니다.
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{3}{20} $
Step 5 : 확률의 덧셈정리를 이용한 최종 계산
두 사건 $A$, $B$에 대하여 합사건의 확률은 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 를 이용하여 구합니다.
따라서 정답은 ③번 입니다.
3 [이론 매칭]
조합 (Combination)
서로 다른 $n$개에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 경우의 수. 기호로 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ 로 나타낸다.
확률의 덧셈정리
두 사건 $A$, $B$에 대하여 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 가 성립한다.
수학적 확률
표본공간 $S$ 의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$ 가 일어날 확률 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ 이다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 같은 숫자가 적힌 공을 '같은 것'으로 취급하는 오류
확률 문제를 풀 때, 육안으로 구분이 불가능하거나 같은 숫자가 적혀 있더라도 확률 계산의 분모가 되는 표본공간을 구성할 때는 반드시 '서로 다른 것'으로 취급해야 합니다. 이를 간과하면 근원사건의 동등성이 깨져 오답을 도출하게 됩니다.
수학적 증명 : 근원사건의 동등성 보장
만약 숫자 $2$가 적힌 검은 공 $3$개를 서로 구별되지 않는 같은 것으로 취급한다고 가정해 봅시다.
전체 공의 구성을 $\{W_1, W_2, B_1, B_2\}$ 로만 보고 뽑는다면, 표본공간의 근원사건들이 발생할 가능성이 동등하지 않게 됩니다.
예를 들어, 실제로는 $B_2$ 공이 $3$개나 존재하므로 $B_2$가 뽑힐 확률이 $W_1$이 뽑힐 확률보다 $3$배 높습니다. 수학적 확률의 정의 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ 를 적용하기 위한 대전제는 "표본공간의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같아야 한다(Equally likely)" 입니다.
따라서, 눈에 띄는 식별표지가 없더라도 논리적으로 검은 공 $2$번을 $B_{2(a)}, B_{2(b)}, B_{2(c)}$ 로 서로 다른 객체로 간주하여 전체 경우의 수 $n(S) = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20$ 으로 계산해야 논리적 모순이 발생하지 않습니다.
5 [핵심 이론 증명]
확률의 덧셈정리 유도 과정
이 문제를 해결하는 핵심 키(Key)인 확률의 덧셈정리가 집합론의 원소의 개수 정리로부터 어떻게 유도되는지 확인해 봅니다.
표본공간 $S$의 근원사건들이 일어날 가능성이 모두 같다고 할 때, 임의의 두 사건 $A$, $B$에 대하여 합집합의 원소의 개수를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $$
양변을 표본공간의 전체 원소의 개수 $n(S)$ 로 나눕니다.
$$ \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} - \frac{n(A \cap B)}{n(S)} $$
수학적 확률의 정의 $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ 에 따라 각 항을 확률 기호로 변환합니다.
$$ \therefore P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
이 정리를 통해, 복잡한 합사건의 확률을 각각의 확률과 교사건의 확률을 통해 체계적으로 계산할 수 있습니다.