무한등비급수와 도형
Q [문제 원문]
27. 그림과 같이 중심이 $\text{O}$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\text{OA}_1\text{B}_1$이 있다. 호 $\text{A}_1\text{B}_1$ 위에 점 $\text{P}_1$, 선분 $\text{OA}_1$ 위에 점 $\text{C}_1$, 선분 $\text{OB}_1$ 위에 점 $\text{D}_1$을 사각형 $\text{OC}_1\text{P}_1\text{D}_1$이 $\overline{\text{OC}_1} : \overline{\text{OD}_1} = 3 : 4$인 직사각형이 되도록 잡는다.
부채꼴 $\text{OA}_1\text{B}_1$의 내부에 점 $\text{Q}_1$을 $\overline{\text{P}_1\text{Q}_1} = \overline{\text{A}_1\text{Q}_1}$, $\angle\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1 = \frac{\pi}{2}$가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 선분 $\text{OA}_1$ 위의 점 $\text{A}_2$와 선분 $\text{OB}_1$ 위의 점 $\text{B}_2$를 $\overline{\text{OQ}_1} = \overline{\text{OA}_2} = \overline{\text{OB}_2}$가 되도록 잡고, 중심이 $\text{O}$, 반지름의 길이가 $\overline{\text{OQ}_1}$, 중심각의 크기가 $\frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $\text{OA}_2\text{B}_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $\text{P}_2$, $\text{C}_2$, $\text{D}_2$, $\text{Q}_2$를 잡고, 이등변삼각형 $\text{P}_2\text{Q}_2\text{A}_2$에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$ 의 값은? [3점]
1 [출제의도]
이 문항은 기하학적 프랙탈 도형의 넓이의 합을 무한등비급수를 활용하여 구하는 능력을 평가합니다. 좌표평면을 도입하여 조건에 맞는 점의 좌표를 대수적으로 찾고, 두 점 사이의 거리 공식과 직각이등변삼각형의 성질을 이용하여 첫 번째 도형의 넓이($S_1$)와 새롭게 생성되는 부채꼴의 반지름을 완벽하게 계산하여 닮음비와 공비를 추론할 수 있는지를 묻습니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 좌표평면 도입 및 점 $\text{P}_1$의 좌표 도출
부채꼴의 중심 $\text{O}$를 원점으로 하고, 선분 $\text{OA}_1$을 $x$축, 선분 $\text{OB}_1$을 $y$축으로 설정합니다. 반지름이 $1$이므로 $\text{A}_1(1, 0)$, $\text{B}_1(0, 1)$이 됩니다.
직사각형 $\text{OC}_1\text{P}_1\text{D}_1$에서 $\overline{\text{OC}_1} : \overline{\text{OD}_1} = 3 : 4$ 이므로, 비례상수 $k>0$에 대하여 점 $\text{P}_1$의 좌표를 $(3k, 4k)$로 둘 수 있습니다.
점 $\text{P}_1$은 원 $x^2 + y^2 = 1$ 위에 있으므로 대입하여 $k$를 구합니다.
Step 2 : 첫 번째 도형의 넓이 $S_1$ 계산
삼각형 $\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1$은 $\angle\text{Q}_1 = \frac{\pi}{2}$인 직각이등변삼각형이며, 빗변은 선분 $\text{P}_1\text{A}_1$ 입니다. 두 점 $\text{P}_1\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ 와 $\text{A}_1(1, 0)$ 사이의 거리 제곱을 계산합니다.
직각이등변삼각형에서 $2\overline{\text{P}_1\text{Q}_1}^2 = \overline{\text{P}_1\text{A}_1}^2$ 이므로 $\overline{\text{P}_1\text{Q}_1}^2 = \frac{2}{5}$ 입니다. 따라서 넓이 $S_1$은 다음과 같습니다.
Step 3 : 수직이등분선을 이용한 점 $\text{Q}_1$ 도출
직각이등변삼각형의 꼭짓점 $\text{Q}_1$은 빗변 $\text{P}_1\text{A}_1$의 수직이등분선 위에 존재합니다. 선분 $\text{P}_1\text{A}_1$의 기울기는 $\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}} = -2$ 이므로 수직인 직선의 기울기는 $\frac{1}{2}$ 입니다. 빗변의 중점 $\text{M}\left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)$을 지나는 이 직선의 방정식은 $y = \frac{1}{2}x$ 입니다.
$\text{Q}_1$의 좌표를 $\left(a, \frac{1}{2}a\right)$로 둡니다. 직각이등변삼각형에서 중점 $\text{M}$과 직각 꼭짓점 $\text{Q}_1$ 사이의 거리는 빗변 길이의 절반이므로 $\overline{\text{MQ}_1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 입니다.
$\text{Q}_1$은 부채꼴 내부($x^2 + y^2 \le 1$)에 위치해야 하므로 $a = \frac{6}{5}$ 은 기각됩니다. 따라서 $\text{Q}_1\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ 이며, 두 번째 부채꼴의 반지름 $r_2 = \overline{\text{OQ}_1} = \sqrt{\left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ 입니다.
Step 4 : 공비 계산 및 극한값 도출
첫 번째 도형과 두 번째 도형의 길이 닮음비가 $1 : \frac{1}{\sqrt{5}}$ 이므로, 넓이의 공비 $r$ 은 닮음비의 제곱인 $\frac{1}{5}$ 입니다.
따라서 정답은 ②번 입니다.
3 [이론 매칭]
무한등비급수의 합
미적분. 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비급수에서 $|r| < 1$ 일 때 도형의 끝없이 누적되는 합은 $\frac{a}{1-r}$ 로 계산할 수 있습니다.
도형의 닮음비와 넓이비
수학(하). 서로 닮은 두 평면도형의 길이 비가 $m : n$ 일 때, 넓이의 비는 항상 그 제곱인 $m^2 : n^2$ 임을 이용합니다.
직선의 방정식과 수직 조건
수학(상) 평면좌표. 두 직선이 서로 수직일 때 기울기의 곱은 $-1$ 이며, 이등변삼각형의 기하학적 대칭성을 수직이등분선의 방정식으로 대수적으로 치환하여 풉니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 오개념 : 조건 확인 없이 좌표를 확정하는 실수
선분 $\text{P}_1\text{A}_1$을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형은 평면 상에서 빗변의 위아래 두 군데에 생성될 수 있습니다. 방정식에서 도출된 두 근 $a = \frac{6}{5}$ 와 $a = \frac{2}{5}$ 중 어느 것이 부채꼴 내부에 존재하는지 부등식($x^2 + y^2 \le 1$)을 통해 반드시 검증해야 합니다.
수학적 증명 : 부채꼴 경계 조건의 엄밀성
부채꼴 $\text{OA}_1\text{B}_1$ 내부의 점 $(x, y)$는 중심이 원점이고 반지름이 $1$인 원의 내부이면서 제1사분면에 존재해야 하므로 $x^2 + y^2 \le 1, x \ge 0, y \ge 0$ 을 만족해야 합니다.
후보 1: $\text{Q}' = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right) \implies \left(\frac{6}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} + \frac{9}{25} = \frac{45}{25} > 1$
이는 반지름 $1$을 초과하므로 명백히 부채꼴 외부에 존재합니다.
후보 2: $\text{Q}_1 = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right) \implies \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{1}{25} = \frac{5}{25} \le 1$
따라서 이 점만이 조건을 완벽히 충족합니다.
5 [핵심 이론 증명]
무한등비급수의 부분합과 수렴성 원리
무한등비급수의 합 공식이 도출되는 논리적 근거를 부분합 수열의 극한을 통해 수학적으로 엄밀하게 증명합니다.
1. 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제$1$항부터 제$n$항까지의 합을 부분합 $S_n$ 이라 정의합니다.
$$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $$
2. 양변에 공비 $r$을 곱하여 수식을 나란히 배열합니다.
$$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n $$
3. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 중간 항들이 대거 소거되는 텔레스코핑(Telescoping) 효과가 일어납니다.
$$ S_n - rS_n = a - ar^n \implies S_n(1-r) = a(1-r^n) $$
$$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (\text{단, } r \neq 1) $$
4. 프랙탈 도형의 특징상 도형이 계속 축소되므로 $0 < r < 1$ 이 성립합니다. 이 조건에서 $n$이 한없이 커질 때($n \to \infty$), 지수함수의 성질에 의해 $r^n \to 0$ 으로 수렴합니다.
$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r} $$