공간도형과 이면각 : 삼수선의 정리의 완벽한 적용
Q 문제 원문
27. 좌표공간에 직선 $AB$를 포함하는 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 $C$에 대하여 직선 $AB$와 직선 $AC$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_1$이라 할 때 $\sin\theta_1 = \frac{4}{5}$이고, 직선 $AC$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기는 $\frac{\pi}{2} - \theta_1$이다. 평면 $ABC$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_2$라 할 때, $\cos\theta_2$의 값은? [3점]
1 출제의도
이 문항은 공간도형에서 선과 평면이 이루는 각, 그리고 두 직선이 이루는 각의 기하학적 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻습니다. 이를 바탕으로 점의 평면에 대한 정사영과 직선에 대한 수선의 발을 설정하여, 삼수선의 정리(Theorem of Three Perpendiculars)를 활용해 두 평면이 이루는 각(이면각)의 크기를 삼각비로 도출해내는 고차원적인 공간 지각 능력과 연산 능력을 평가합니다.
2 상세 풀이 (Step-by-Step)
직선 $AC$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 분석 (정사영 설정)
점 $C$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $C'$이라 합시다. 직선과 평면이 이루는 각의 정의에 의해, 직선 $AC$와 평면 $\alpha$가 이루는 각은 $\angle CAC'$입니다. 조건에서 이 각의 크기가 $\frac{\pi}{2} - \theta_1$이라고 하였습니다.
삼각형 $CAC'$은 $\angle CC'A = 90^\circ$인 직각삼각형입니다. 따라서 나머지 한 각인 $\angle ACC'$의 크기는 삼각형의 내각의 합에 의해 다음과 같이 결정됩니다.
계산의 편의를 위해 선분 $AC$의 길이를 $5k \ (k > 0)$로 설정합시다. 문제에서 $\sin\theta_1 = \frac{4}{5}$라고 주어졌습니다. 직각삼각형 $CAC'$에서 삼각비의 정의를 적용하면 높이 $CC'$의 길이를 구할 수 있습니다.
(* 참고: $\sin^2\theta_1 + \cos^2\theta_1 = 1$ 이고 예각이므로 $\cos\theta_1 = \frac{3}{5}$)
$$ \text{더 직관적으로 } \angle ACC' = \theta_1 \text{ 이므로,} $$ $$ \cos(\angle ACC') = \frac{CC'}{AC} \implies \cos\theta_1 = \frac{CC'}{5k} = \frac{3}{5} \implies CC' = 3k $$
직선 $AB$와 직선 $AC$가 이루는 각의 분석
이제 점 $C$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 $H$라 합시다. 문제 조건에서 직선 $AB$와 직선 $AC$가 이루는 예각의 크기가 $\theta_1$이라고 하였습니다. 즉, 평면 $ABC$ 상에서 $\angle CAH = \theta_1$입니다.
직각삼각형 $CAH$에서 빗변 $AC = 5k$이고 $\angle CAH = \theta_1$입니다. 여기서 높이 $CH$와 밑변 $AH$의 길이를 각각 구합니다.
삼수선의 정리 적용 및 이면각의 변 도출
기하학적 연결고리 :
1) $CC' \perp (\text{평면 } \alpha)$
2) $CH \perp (\text{직선 } AB)$
삼수선의 정리에 의하여, 평면 $\alpha$ 위의 점 $C'$에서 직선 $AB$에 그은 선분도 수직을 이룹니다. 즉, $\mathbf{C'H \perp (\text{직선 } AB)}$가 성립합니다.
선분 $C'H$의 길이를 구하기 위해 평면 $CC'H$를 살펴봅시다. $CC'$는 평면 $\alpha$에 수직이므로 평면 $\alpha$에 포함된 선분 $C'H$와도 수직입니다. 따라서 $\triangle CC'H$는 $\angle CC'H = 90^\circ$인 직각삼각형입니다.
피타고라스 정리를 이용하여 밑변 $C'H$의 길이를 계산합니다.
이면각의 정의를 통한 $\cos\theta_2$ 산출
두 평면 $ABC$와 $\alpha$가 만나는 교선은 직선 $AB$입니다. 교선 $AB$ 위의 점 $H$에 대하여, 평면 $ABC$ 위에서 $CH \perp AB$이고 평면 $\alpha$ 위에서 $C'H \perp AB$입니다. 따라서 두 평면이 이루는 이면각의 크기 $\theta_2$는 바로 두 수선 $CH$와 $C'H$가 이루는 각인 $\angle CHC'$과 같습니다.
따라서 구하는 값은 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ 입니다.
3 이론 매칭
정사영 (Orthogonal Projection)
공간의 어떤 점이나 도형을 주어진 평면에 수직으로 내린 발들의 집합. 본 문항에서는 점 $C$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $C'$을 찾는 것이 시작점입니다.
삼수선의 정리 (Theorem of Three Perpendiculars)
평면 밖의 점, 평면 위의 직선 사이의 수직 관계를 이어주는 공간도형 최고의 핵심 정리. 평면으로의 수선($CC'$)과 직선으로의 수선($CH$)을 통해 평면 내의 수직관계($C'H \perp AB$)를 증명합니다.
이면각 (Dihedral Angle)
공간에서 만나는 두 평면이 이루는 각. 교선 상의 한 점에서 각 평면 위에 교선과 수직이 되도록 그은 두 반직선이 이루는 각의 크기로 정의합니다. 본 문제의 목적지입니다.
직선과 평면이 이루는 각
직선과 그 직선의 평면 위로의 정사영이 이루는 각. 문제에서 주어진 $\frac{\pi}{2}-\theta_1$을 $\triangle CAC'$의 기하학적 각도로 해석하는 데 쓰였습니다.
4 실수 포인트 및 증명
가장 잦은 오개념 : 이면각의 단면을 잘못 설정하는 경우
학생들이 가장 많이 하는 실수는 이면각 $\theta_2$를 찾을 때, 교선 $AB$에 내린 수선의 발 $H$가 아닌 임의의 점(예: 점 A)과 연결하여 $\angle CAC'$을 이면각으로 착각하는 것입니다. 평면과 평면이 이루는 각은 반드시 '교선에 수직인 두 선분'이 이루는 각이어야 합니다.
수학적 증명 : $\angle CHC'$이 이면각인 이유
- 두 평면 $ABC$와 $\alpha$의 교선은 직선 $AB$이다.
- 작도에 의해 선분 $CH$는 평면 $ABC$ 위에 존재하며, 교선 $AB$와 점 $H$에서 수직으로 만난다. ($CH \perp AB$)
- 삼수선의 정리에 의해 선분 $C'H$는 평면 $\alpha$ 위에 존재하며, 교선 $AB$와 점 $H$에서 수직으로 만난다. ($C'H \perp AB$)
- 이면각의 정의(교선 상의 한 점에서 각 평면에 놓인 수선들이 이루는 각)를 완벽히 만족하므로, 두 평면이 이루는 각 $\theta_2$는 정확히 $\angle CHC'$이다.
5 핵심 이론 증명 : 삼수선의 정리
본 풀이에 사용된 삼수선의 정리(제1정리)의 대수적/기하적 증명
명제 : $P \notin \alpha, \ P' \in \alpha$ 에 대하여 $PP' \perp \alpha$ 이고 $PH \perp l$ ($l$은 $\alpha$ 위의 직선) 이면 $P'H \perp l$ 이다.
벡터를 이용한 내적 증명 (고등학교 심화/기하 교과 과정) :
공간 상의 벡터 내적 성질을 이용하면 가장 명쾌하게 증명할 수 있습니다.
1. $PP' \perp \alpha$ 이므로 $\alpha$ 위의 임의의 벡터(직선 $l$ 포함)와 수직입니다. $\therefore \overrightarrow{PP'} \cdot \vec{u} = 0$
2. $PH \perp l$ 이므로 $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{u} = 0$
3. 벡터의 분해: $\overrightarrow{P'H} = \overrightarrow{PH} - \overrightarrow{PP'}$
4. 내적 계산: $\overrightarrow{P'H} \cdot \vec{u} = (\overrightarrow{PH} - \overrightarrow{PP'}) \cdot \vec{u} = \overrightarrow{PH} \cdot \vec{u} - \overrightarrow{PP'} \cdot \vec{u} = 0 - 0 = 0$
5. 결론: $\overrightarrow{P'H} \cdot \vec{u} = 0$ 이므로 선분 $P'H$는 직선 $l$과 수직입니다. ($P'H \perp l$)
※ 본 문항에서는 $P=C, P'=C'$으로 치환되어 사용되었습니다.
공간도형 3D 시뮬레이터 : 삼수선의 정리
수식만으로는 이해하기 힘든 평면과 선의 공간적 배치를 Three.js 엔진으로 시각화했습니다. 마우스 좌클릭으로 회전, 우클릭으로 이동, 휠로 확대/축소하여 다각도에서 이면각($\theta_2$)의 존재를 확인해 보세요.