삼각함수의 극한과 기하학적 추론
Q [문제 원문]
28. 그림과 같이 중심이 $\text{O}$이고 길이가 $2$인 선분 $\text{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 $\angle\text{AOC} = \frac{\pi}{2}$인 점 $\text{C}$가 있다.
호 $\text{BC}$ 위에 점 $\text{P}$와 호 $\text{CA}$ 위에 점 $\text{Q}$를 $\overline{\text{PB}} = \overline{\text{QC}}$가 되도록 잡고, 선분 $\text{AP}$ 위에 점 $\text{R}$을 $\angle\text{CQR} = \frac{\pi}{2}$가 되도록 잡는다.
선분 $\text{AP}$와 선분 $\text{CO}$의 교점을 $\text{S}$라 하자. $\angle\text{PAB} = \theta$일 때, 삼각형 $\text{POB}$의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 $\text{CQRS}$의 넓이를 $g(\theta)$라 하자. $\displaystyle \lim\limits_{\theta \to 0+} \frac{3f(\theta) - 2g(\theta)}{\theta^2}$ 의 값은?
(단, $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$) [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 원의 성질(원주각과 중심각의 관계)과 삼각함수를 활용하여 기하학적 도형의 넓이를 매개변수 $\theta$로 표현하고, 삼각함수의 극한을 계산하는 능력을 평가합니다. 특히, 사각형 $\text{CQRS}$가 등변사다리꼴이 아닌 직각사다리꼴임을 파악하기 위해 두 직선의 평행 조건을 대수적으로 증명해내는 추론 능력이 문제 해결의 핵심입니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 좌표평면 설정 및 점의 좌표 도출
원점 $\text{O}(0,0)$를 중심으로 하고 반지름이 $1$인 반원을 설정합니다. 지름 $\text{AB}$가 $x$축 위에 있으므로 $\text{A}(-1, 0)$, $\text{B}(1, 0)$이며, $\angle\text{AOC} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\text{C}(0, 1)$입니다.
호 $\text{PB}$에 대한 원주각 $\angle\text{PAB} = \theta$이므로, 중심각 $\angle\text{POB} = 2\theta$입니다. 따라서 점 $\text{P}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$\overline{\text{PB}} = \overline{\text{QC}}$이므로 두 현에 대한 중심각의 크기는 같습니다. 즉, $\angle\text{QOC} = \angle\text{POB} = 2\theta$입니다. 점 $\text{Q}$는 $y$축(선분 $\text{OC}$)에서 음의 $x$방향으로 $2\theta$만큼 회전한 위치에 있으므로 $\angle\text{QOA} = \frac{\pi}{2} - 2\theta$입니다. 점 $\text{Q}$의 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
Step 2 : 삼각형 $\text{POB}$의 넓이 $f(\theta)$ 계산
두 변의 길이가 반지름 $1$이고 그 끼인각이 $2\theta$인 삼각형 $\text{POB}$의 넓이 $f(\theta)$는 삼각함수 넓이 공식을 통해 직관적으로 도출됩니다.
Step 3 : 선분 $\text{CQ}$와 선분 $\text{AP}$의 평행 증명
사각형 $\text{CQRS}$의 구조를 파악하기 위해 직선 $\text{CQ}$와 직선 $\text{AP}$의 기울기를 비교합니다.
- 직선 $\text{AP}$의 기울기 : 점 $\text{A}(-1, 0)$과 $\text{P}(\cos 2\theta, \sin 2\theta)$를 지나는 직선이므로 $\tan \theta$입니다.
- 직선 $\text{CQ}$의 기울기 : $\text{C}(0, 1)$과 $\text{Q}(-\sin 2\theta, \cos 2\theta)$를 이용해 계산합니다.
두 직선의 기울기가 같으므로 $\text{CQ} \parallel \text{AP}$ 입니다. 문제 조건에서 $\angle\text{CQR} = \frac{\pi}{2}$이므로 점 $\text{R}$은 점 $\text{Q}$에서 직선 $\text{AP}$에 내린 수선의 발입니다. 평행선 성질에 의해 $\angle\text{QRS} = \frac{\pi}{2}$가 되며, 사각형 $\text{CQRS}$는 직각사다리꼴이 됩니다.
Step 4 : 사각형 $\text{CQRS}$의 변의 길이 계산
직각사다리꼴의 넓이 $g(\theta) = \frac{1}{2}(\overline{\text{CQ}} + \overline{\text{RS}}) \times \overline{\text{QR}}$ 를 구하기 위해 각 선분의 길이를 도출합니다.
① 윗변 $\overline{\text{CQ}}$의 길이
② 높이 $\overline{\text{QR}}$의 길이 (평행선 사이의 거리)
직선 $\text{AP}$의 방정식은 $y = \tan\theta(x+1) \implies \sin\theta \cdot x - \cos\theta \cdot y + \sin\theta = 0$ 입니다. 점 $\text{C}(0,1)$에서 이 직선까지의 거리 $d$가 곧 높이 $\overline{\text{QR}}$과 같습니다.
③ 아랫변 $\overline{\text{RS}}$의 길이
점 $\text{S}$는 직선 $\text{AP}$와 $y$축의 교점이므로 $x=0$을 대입하면 $\text{S}(0, \tan\theta)$ 입니다. $\text{A}(-1,0)$에서 $\text{S}$까지의 거리 $\overline{\text{AS}} = \sqrt{1 + \tan^2\theta} = \sec\theta$ 입니다.
직각삼각형 $\text{AQR}$에서 $\overline{\text{AR}}^2 = \overline{\text{AQ}}^2 - \overline{\text{QR}}^2$ 를 이용합니다.
$\overline{\text{AQ}}^2 = (1-\sin 2\theta)^2 + \cos^2 2\theta = 2 - 2\sin 2\theta$ 이므로,
Step 5 : $g(\theta)$ 계산 및 수식의 대수적 정리
극한 수식 $3f(\theta) - 2g(\theta)$ 에 대입하여 전개 및 정리합니다. $3f(\theta) = \frac{3}{2}\sin 2\theta = 3\sin\theta\cos\theta$ 입니다.
Step 6 : 최종 극한값 도출
정리된 수식을 바탕으로 주어진 극한식을 계산합니다. $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 의 성질을 이용합니다.
따라서 정답은 ②번 입니다.
3 [이론 매칭]
삼각함수의 극한
미적분. $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 및 $\frac{\tan x}{x} \to 1$ 극한의 기본 꼴을 활용하여 복잡한 기하학적 넓이 차이의 극한을 계산합니다.
점과 직선 사이의 거리
수학(상) 도형의 방정식. 평행한 두 직선 사이의 거리를 구할 때, 한 직선 위의 점과 다른 직선 사이의 거리 공식을 대입하여 높이 $\overline{\text{QR}}$을 유도합니다.
삼각함수의 성질과 반각/배각 공식
수학 I / 미적분. $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ 등 삼각함수의 기본 성질을 통해 대수적으로 복잡한 식을 극한 계산이 가능한 $\sin^2\theta(2+\tan\theta)$ 꼴로 인수분해하는 과정이 필수적입니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 오개념 : 사각형 $\text{CQRS}$를 일반 사각형으로 취급하여 분할하려는 접근
직선 $\text{CQ}$와 $\text{AP}$가 평행하다는 사실을 알아채지 못하면, 사각형 $\text{CQRS}$의 넓이를 삼각형 두 개로 쪼개어 구하려고 시도하게 됩니다. 이 경우 사인법칙이나 코사인법칙을 여러 번 적용해야 하며, 식이 극도로 복잡해져 계산 실수를 유발합니다.
수학적 증명 : 기울기를 통한 평행선의 확정
기하학적 직관에 의존하지 않고 좌표를 통한 대수적 확인이 필수입니다.
점 $\text{Q}$의 좌표는 원점에서 $y$축으로부터 $2\theta$만큼 음의 방향으로 회전한 $(-\sin 2\theta, \cos 2\theta)$ 입니다.
직선 $\text{CQ}$의 기울기 $m = \frac{\cos 2\theta - 1}{-\sin 2\theta}$.
배각공식 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ 와 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 를 대입하면,
$m = \frac{(1 - 2\sin^2\theta) - 1}{-2\sin\theta\cos\theta} = \frac{-2\sin^2\theta}{-2\sin\theta\cos\theta} = \tan\theta$.
이는 $\text{A}(-1,0)$과 원점을 지나는 직선의 기울기 $\tan\theta$와 완벽히 일치하므로 평행이 증명됩니다.
5 [핵심 이론 증명]
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 의 기하학적 증명
이 문제의 최종 계산을 관통하는 삼각함수의 극한 기본 정리입니다. 완벽한 증명을 위해서는 조임 정리(Squeeze Theorem)를 활용하여 우극한($x \to 0+$)과 좌극한($x \to 0-$)을 각각 나누어 기하학적으로 보여야 합니다.
Case 1 우극한 증명 ($x \to 0+$)
[도형 설정] 제1사분면의 단위원에서 중심각이 $x$ $\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$인 부채꼴 $\text{OAB}$와 $x=1$ 접선 위의 교점 $\text{T}(1, \tan x)$를 잡습니다.
[넓이 비교] 세 도형의 넓이는 기하학적으로 다음 대소 관계가 성립합니다.
[수식 변형] 각 넓이를 중심각 $x$에 대한 삼각함수로 표현하여 대입합니다.
$x > 0$ 이므로 $\sin x > 0$ 입니다. 각 변을 양수인 $\frac{1}{2}\sin x$ 로 나누면 다음과 같이 정리됩니다.
[극한 적용] 각 변이 모두 양수이므로 역수를 취하면 부등호의 방향이 바뀝니다.
$\lim\limits_{x \to 0+} \cos x = 1$ 이므로 조임 정리에 의해 $\lim\limits_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 성립합니다.
Case 2 좌극한 증명 ($x \to 0-$)
[도형 설정] 제4사분면의 단위원에서 중심각이 $x$ $\left(-\frac{\pi}{2} < x < 0\right)$인 경우입니다. 실제 각도의 크기(절댓값)는 $-x$ 이며, $y$좌표를 결정하는 $\sin x$와 $\tan x$의 값은 모두 음수입니다.
[넓이 비교] 기하학적 도형의 넓이는 항상 양수이므로, 절댓값 기호를 사용하여 대소 관계를 세웁니다.
[수식 변형] $x < 0$ 구간이므로 절댓값을 풀면 모두 음수 기호($-$)가 붙습니다.
양변에 $-2$를 곱하면 음수를 곱했으므로 부등호 방향이 바뀝니다.
각 변을 $\sin x$ 로 나눕니다. 주의할 점은 $x < 0$ 일 때 $\sin x$ 도 음수이므로 부등호 방향이 다시 바뀝니다.
[극한 적용] 각 변의 역수를 취하면 부등호 방향이 다시 한번 바뀝니다.
$\lim\limits_{x \to 0-} \cos x = 1$ 이므로 조임 정리에 의해 $\lim\limits_{x \to 0-} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 성립합니다.
결론적으로 우극한과 좌극한이 모두 $1$ 로 일치하므로,
극한의 기본 성질에 따라 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 이 완벽하게 증명됩니다.