쌍곡선의 정의와 점근선 : 기하학적 닮음과 코사인법칙의 융합
Q 문제 원문
28.
두 초점이 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0) \ (c > 0)$인 쌍곡선 $C$와 $y$축 위의 점 $A$가 있다. 쌍곡선 $C$가 선분 $AF$와 만나는 점을 $P$, 선분 $AF'$과 만나는 점을 $P'$이라 하자.
직선 $AF$는 쌍곡선 $C$의 한 점근선과 평행하고
일 때, 쌍곡선 $C$의 주축의 길이는? [4점]
1 출제의도
이 문항은 이차곡선(쌍곡선)의 본질적인 정의와 점근선의 성질을 삼각형의 닮음, 그리고 코사인법칙과 연결하여 종합적으로 추론하는 능력을 평가합니다. 대수적 계산에만 의존하지 않고, 도형의 대칭성을 활용하여 변의 비율을 알아내고, 이를 쌍곡선의 방정식 요소($a, b, c$)로 변환해 내는 높은 기하학적 직관을 요구하는 4점 문항입니다.
2 상세 풀이 (Step-by-Step)
삼각형의 닮음과 선분의 길이 비 분석
먼저 $y$축에 위치한 점 $A$와 $x$축 위의 두 초점 $F, F'$의 대칭성을 관찰합시다. 쌍곡선과 두 초점은 $y$축에 대하여 대칭이므로, 삼각형 $AFF'$은 선분 $AF = AF'$인 이등변삼각형입니다. 또한 점 $P, P'$ 역시 $y$축에 대하여 대칭이므로 선분 $PP'$는 $x$축(선분 $FF'$)과 평행합니다.
문제 조건에서 $\overline{AP} : \overline{PP'} = 5 : 6$ 이라고 주어졌습니다. 닮음비에 의해 $\triangle AFF'$ 에서도 $\overline{AF} : \overline{FF'} = 5 : 6$ 이 성립합니다.
$$ \overline{AF} : 2c = 5 : 6 \implies \overline{AF} = \frac{10c}{6} = \frac{5}{3}c $$
점근선 평행 조건과 초점 $c$와 $a$의 관계 도출
직각삼각형 $AOF$에 피타고라스의 정리를 적용하여 점 $A$의 $y$좌표 (높이 $h$)를 구합니다.
직선 $AF$는 점 $A\left(0, \frac{4}{3}c\right)$와 초점 $F(c, 0)$을 지나므로 기울기는 다음과 같습니다.
쌍곡선의 점근선의 방정식은 $y = \pm\frac{b}{a}x$ 입니다. 직선 $AF$의 기울기가 음수이므로, 이는 점근선 $y = -\frac{b}{a}x$ 와 평행합니다.
쌍곡선의 초점 공식 $c^2 = a^2 + b^2$ 에 대입하면, $$ c^2 = a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2 = a^2 + \frac{16}{9}a^2 = \frac{25}{9}a^2 $$ $$ \therefore \mathbf{c = \frac{5}{3}a} $$
쌍곡선의 정의 적용
점 $P$는 쌍곡선 $C$ 위의 점이므로 쌍곡선의 정의($|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a$)를 만족합니다. 점 $P$는 제1사분면(또는 오른쪽 가지)에 위치하므로 $\overline{PF'} > \overline{PF}$ 입니다. 문제에서 $\overline{PF} = 1$ 이라 주어졌으므로,
코사인법칙을 이용한 $a$값 산출
삼각형 $PFF'$의 세 변의 길이를 모두 $a$에 관한 식으로 표현할 수 있게 되었습니다. 이제 각 $\angle PFF'$ 의 코사인 값을 구해봅시다. 이 각은 직각삼각형 $AOF$의 $\angle AFO$ 와 동일합니다.
$\triangle PFF'$ 에서 코사인법칙을 적용합니다. 변의 길이는 $\overline{PF} = 1$, $\overline{FF'} = 2c = \frac{10}{3}a$, $\overline{PF'} = 2a + 1$ 입니다.
$$ (2a + 1)^2 = 1^2 + \left(\frac{10}{3}a\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \left(\frac{10}{3}a\right) \cdot \frac{3}{5} $$
$$ 4a^2 + 4a + 1 = 1 + \frac{100}{9}a^2 - 4a $$
$$ 8a = \left(\frac{100}{9} - 4\right)a^2 = \frac{64}{9}a^2 $$
$a > 0$ 이므로 양변을 $a$로 나누면, $$ 8 = \frac{64}{9}a \implies a = 8 \times \frac{9}{64} = \frac{9}{8} $$
구하고자 하는 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$ 이므로, $2 \times \frac{9}{8} = \mathbf{\frac{9}{4}}$ 입니다.
3 이론 매칭
쌍곡선의 정의
평면 위의 두 정점(초점)으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합. 본 문제에서 $|\overline{PF'} - \overline{PF}| = 2a$ 를 식 세우는 핵심 근거입니다.
쌍곡선의 점근선
곡선이 무한히 뻗어나갈 때 한없이 가까워지는 직선. 방정식 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 에서 점근선은 $y = \pm\frac{b}{a}x$ 이며, $c$와 $a$의 비율을 결정짓습니다.
도형의 닮음
모양은 같고 크기만 다른 두 도형의 관계. $y$축 대칭성을 파악하여 $\triangle APP' \sim \triangle AFF'$임을 유추하고, 변의 길이 비를 실제 비율로 환산합니다.
코사인법칙
삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때 나머지 한 변의 길이를 구하는 정리. 기하 문제에서 대수적 방정식을 도출하는 강력한 결론부 역할을 합니다.
4 실수 포인트 및 증명
가장 잦은 오개념 : 직선 $AF$를 점근선 자체로 착각하는 오류
문제를 급하게 읽은 학생들은 "직선 $AF$는 쌍곡선의 점근선과 평행하고"라는 구절을 놓치고, 직선 $AF$가 원점을 지나는 점근선 $y = -\frac{b}{a}x$ 자체라고 착각하는 실수를 범합니다. 이 경우 점 $A$가 원점 $O$와 일치하게 되어 모순이 발생합니다.
수학적 구분 : '평행'과 '일치'
- 점근선의 방정식 : $y = -\frac{b}{a}x$ (원점 $O(0,0)$를 지남)
- 직선 $AF$의 방정식 : $y = -\frac{b}{a}x + h$ ($y$절편이 $h$인 직선)
- 쌍곡선의 교점: 직선이 원점을 지나는 점근선이라면 쌍곡선과 절대 만나지 않지만($x \to \infty$에서만 근접), $y$축 위로 평행이동한 직선 $AF$는 쌍곡선과 명확히 점 $P, P'$에서 교차할 수 있습니다.
5 핵심 이론 증명 : 쌍곡선의 점근선 유도
본 풀이의 기반이 되는 점근선 $y = \pm\frac{b}{a}x$ 의 대수적 유도 과정
$y$에 대하여 식을 정리해 봅니다.
$\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2} - 1$
$y^2 = b^2 \left( \frac{x^2}{a^2} - 1 \right) = \frac{b^2}{a^2} x^2 \left( 1 - \frac{a^2}{x^2} \right)$
양변에 근호를 씌우면,
$y = \pm \frac{b}{a} x \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$
여기서 $|x|$가 무한히 커질 때 ($|x| \to \infty$), 분수 $\frac{a^2}{x^2}$ 은 $0$에 수렴합니다.
따라서 곡선은 직선 $\mathbf{y = \pm \frac{b}{a} x}$ 에 한없이 가까워집니다.
이를 쌍곡선의 점근선(Asymptote)이라고 정의합니다.
기하 시뮬레이터 : 쌍곡선과 점근선의 관계 (2D)
마우스 드래그로 화면 이동, 마우스 휠로 확대/축소하여 쌍곡선, 점근선, 그리고 삼각형의 교차 관계를 평면 위에서 정확하게 분석해 보세요. (도출된 $a, b, c$ 비율 적용 완료)