확률밀도함수의 성질과 정적분
Q [문제 원문]
28. 연속확률변수 $X$가 갖는 값의 범위는 $0 \le X \le a$이고, $X$의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다.
$\mathrm{P}(X \le b) - \mathrm{P}(X \ge b) = \frac{1}{4}$, $\mathrm{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$일 때,
$a+b+c$의 값은? (단, $a, b, c$는 상수이다.) [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 연속확률변수의 확률밀도함수가 가지는 기하학적 성질(넓이)을 정확히 이해하고 있는지를 묻습니다. 전체 확률이 $1$이라는 기본 성질과, 주어진 확률 조건들을 삼각형의 넓이 공식으로 변환하여 미지수들의 관계식을 세우는 대수적 추론 능력이 필요합니다. 특히 특정 확률값($\frac{1}{2}$)을 통해 기준점($x=\sqrt{5}$)의 상대적 위치를 파악하는 논리력이 핵심입니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 확률밀도함수의 기본 성질 (전체 넓이)
연속확률변수 $X$의 모든 범위에 대한 확률은 $1$입니다. 주어진 확률밀도함수의 그래프는 밑변의 길이가 $a$, 높이가 $c$인 삼각형이므로 이 삼각형의 전체 넓이는 $1$이 되어야 합니다.
Step 2 : 첫 번째 확률 조건 해석
조건 $\mathrm{P}(X \le b) - \mathrm{P}(X \ge b) = \frac{1}{4}$ 을 이용합니다. $x=b$를 기준으로 왼쪽 직각삼각형의 넓이가 $\mathrm{P}(X \le b)$ 이고, 오른쪽 직각삼각형의 넓이가 $\mathrm{P}(X \ge b)$ 입니다.
우측 넓이 : $\mathrm{P}(X \ge b) = \frac{1}{2}(a-b)c$
이를 조건식에 대입하면,
$$ \frac{1}{2}bc - \frac{1}{2}(a-b)c = \frac{1}{4} $$ 양변에 $2$를 곱하고 식을 정리합니다.
$$ bc - (ac - bc) = \frac{1}{2} $$ $$ 2bc - ac = \frac{1}{2} $$ (식 1)에서 $ac = 2$ 이므로 대입합니다.
$$ 2bc - 2 = \frac{1}{2} \implies 2bc = \frac{5}{2} $$ $$ \therefore bc = \frac{5}{4} \quad \cdots \text{ (식 2)} $$
이 결과를 바탕으로 $x=b$를 기준으로 한 좌측 넓이를 확정할 수 있습니다.
$\mathrm{P}(X \le b) = \frac{1}{2}bc = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{8}$
Step 3 : 두 번째 확률 조건 및 기준점 위치 판별
두 번째 조건인 $\mathrm{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$ 을 이용하기 위해서는, $x = \sqrt{5}$ 의 위치가 $b$보다 왼쪽인지 오른쪽인지 판단해야 합니다.
Step 2에서 구한 $\mathrm{P}(X \le b) = \frac{5}{8}$ 이고, 주어진 조건 $\mathrm{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2}$ 입니다.
$\frac{1}{2} = \frac{4}{8} < \frac{5}{8}$ 이므로, 확률밀도함수에서 넓이가 더 작다는 것은 $x = \sqrt{5}$ 가 $b$보다 왼쪽에 위치함을 뜻합니다. ($0 < \sqrt{5} < b$)
구간 $0 \le x \le b$ 에서 확률밀도함수의 식은 원점과 $(b, c)$를 지나는 직선이므로 $y = \frac{c}{b}x$ 입니다.
$x = \sqrt{5}$ 일 때의 높이는 $y = \frac{c}{b}\sqrt{5}$ 입니다.
Step 4 : 연립방정식 풀이 및 정답 도출
앞서 구한 세 가지 식을 연립하여 $a, b, c$의 값을 구합니다.
(식 1) $ac = 2$
(식 2) $bc = \frac{5}{4}$
(식 3) $b = 5c$
$$ (5c) \times c = \frac{5}{4} \implies 5c^2 = \frac{5}{4} $$ $$ c^2 = \frac{1}{4} $$ 확률밀도함수는 항상 $f(x) \ge 0$ 이므로 $c > 0$ 입니다.
$$ \therefore c = \frac{1}{2} $$
$c$값을 (식 3)에 대입하여 $b$를 구합니다.
$$ b = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$
$c$값을 (식 1)에 대입하여 $a$를 구합니다.
$$ a \times \frac{1}{2} = 2 \implies a = 4 $$
마지막으로 구하고자 하는 값 $a+b+c$ 를 계산합니다.
$$ a + b + c = 4 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 4 + 3 = 7 $$
따라서 정답은 ④번 입니다.
3 [이론 매칭]
연속확률변수와 확률밀도함수
어떤 구간의 모든 실수를 취할 수 있는 확률변수 $X$에 대하여, 확률을 나타내는 함수 $f(x)$를 확률밀도함수라 한다.
확률밀도함수의 성질
항상 $f(x) \ge 0$ 이며, 정의된 전체 구간에서 그래프와 $x$축 사이의 전체 넓이는 $1$이다.
도형의 넓이와 확률
$\mathrm{P}(\alpha \le X \le \beta)$ 의 값은 확률밀도함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 $x$축, 그리고 두 직선 $x=\alpha$, $x=\beta$ 로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 오개념 : $x=\sqrt{5}$ 의 위치에 대한 무비판적 가정
많은 학생들이 식을 세울 때, $x=\sqrt{5}$ 가 $b$보다 작을지 클지에 대한 논리적 검증 없이 임의로 구간을 가정하여 직선의 방정식을 잘못 세우는 실수를 범합니다.
대소 관계 증명
확률밀도함수 $f(x)$는 항상 $0$ 이상이므로, 구간의 끝값이 커질수록 누적 확률(정적분 값)은 단조증가합니다.
즉, $x_1 < x_2$ 이면 $\int_{0}^{x_1} f(x)dx \le \int_{0}^{x_2} f(x)dx$ 가 항상 성립합니다.
우리는 조건 1을 통해 $\mathrm{P}(X \le b) = \frac{5}{8}$ 임을 도출했습니다.
문제에서 $\mathrm{P}(X \le \sqrt{5}) = \frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ 로 주어졌습니다.
따라서 $\mathrm{P}(X \le \sqrt{5}) < \mathrm{P}(X \le b)$ 가 성립하며, 누적 확률의 단조증가 성질에 의해 대소 관계는 반드시 $\sqrt{5} < b$ 이어야만 모순이 없습니다. 이 검증 과정을 거쳐야만 $0 \le x \le b$ 구간의 직선 방정식 $y=\frac{c}{b}x$ 에 $x=\sqrt{5}$ 를 안심하고 대입할 수 있습니다.
5 [핵심 이론 증명]
왜 확률을 면적으로 정의하는가?
이산확률변수와 달리 연속확률변수에서는 특정 값 하나를 가질 확률이 $0$입니다. 그렇다면 구간의 확률을 어떻게 수학적으로 엄밀하게 정의할 수 있을까요? 고등학교 교육과정 연계 설명
상대도수(Relative Frequency)의 히스토그램을 생각해보면 이해가 쉽습니다. 관측 데이터의 수를 늘리고, 계급의 크기(가로축 구간)를 무한히 작게 만들면 계급을 나타내는 막대그래프의 윗변들은 점점 부드러운 곡선에 가까워집니다.
이때 특정 구간 $[a, b]$ 에 속하는 데이터의 비율(확률)은 해당 구간에 있는 막대그래프 넓이들의 합과 같습니다. 계급의 크기 $\Delta x \to 0$ 의 극한을 취하면, 이 합은 리만 합(Riemann sum)의 정의에 의해 정적분으로 변환됩니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (\text{계급의 상대도수 밀도}) \times \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
여기서 극한으로 도출된 곡선 $f(x)$가 바로 확률밀도함수(Probability Density Function)입니다.
결과적으로, 연속확률변수 $X$가 구간 $[a, b]$ 내의 값을 가질 확률 $\mathrm{P}(a \le X \le b)$ 는 수학적으로 함수 $f(x)$를 $a$부터 $b$까지 정적분한 값, 즉 '면적'으로 자연스럽게 정의되는 것입니다.