수능 출제 분석

지수함수의 극한과 역함수의 정적분

Q [문제 원문]

29. 세 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 함수 $f(x) = ae^{2x} + be^x + c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)+6}{e^x} = 1$

(나) $f(\ln 2) = 0$

함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때,
$\displaystyle \int_0^{14} g(x)dx = p + q\ln 2$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$, $q$는 유리수이고, $\ln 2$는 무리수이다.) [4점]

① $22$ ② $24$ ③ $26$ ④ $28$ ⑤ $30$

1 [출제의도]

이 문항은 극한 조건에서 지수함수의 점근적 행동을 파악하여 미정계수를 결정하고, 이를 바탕으로 완성된 함수의 역함수의 정적분을 기하학적 의미 또는 치환적분법을 통해 정확히 계산해 내는 종합적 사고력을 평가합니다.

2 [상세 풀이]

Step 1 : 조건 (가)를 이용한 미정계수 $b$, $c$ 도출

주어진 함수 $f(x) = ae^{2x} + be^x + c$에 대하여 $x \to -\infty$ 일 때의 극한을 조사합니다. $x \to -\infty$ 이면 $e^x \to 0$, $e^{2x} \to 0$ 이므로 $f(x) \to c$ 입니다.

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ae^{2x} + be^x + c + 6}{e^x} = 1 $$

분모 $e^x \to 0$ 이므로, 극한값이 존재하기 위해서는 분자 또한 $0$으로 수렴해야 합니다. 즉, $\lim_{x \to -\infty} (ae^{2x} + be^x + c + 6) = c + 6 = 0$ 이어야 하므로 $c = -6$ 입니다. 이를 다시 식에 대입하여 정리합니다.

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{ae^{2x} + be^x}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} (ae^x + b) = b $$

이 극한값이 $1$이라고 주어졌으므로 $b = 1$ 입니다.

Step 2 : 조건 (나)를 이용한 미정계수 $a$ 도출 및 함수 완성

현재까지 구한 미정계수를 대입하면 $f(x) = ae^{2x} + e^x - 6$ 입니다. 조건 (나)의 $f(\ln 2) = 0$ 을 적용합니다.

$$ f(\ln 2) = a(e^{\ln 2})^2 + e^{\ln 2} - 6 = 0 $$ $$ a(2)^2 + 2 - 6 = 0 $$ $$ 4a - 4 = 0 \implies a = 1 $$

따라서 완성된 함수는 $f(x) = e^{2x} + e^x - 6$ 입니다.

Step 3 : 역함수의 적분 구간에 대응하는 원함수의 정의역 도출

역함수 $g(x)$의 정적분 $\int_0^{14} g(x) dx$ 를 구하기 위해 $y$좌표가 $0$과 $14$일 때의 $x$좌표를 찾습니다.

  • $f(x) = 0$ 인 경우 : 조건 (나)에 의해 $x = \ln 2$ 입니다.
  • $f(x) = 14$ 인 경우 : $e^{2x} + e^x - 6 = 14$ 를 풉니다.
$$ e^{2x} + e^x - 20 = 0 $$ $$ (e^x + 5)(e^x - 4) = 0 $$

지수함수의 치역에 의해 $e^x > 0$ 이므로 $e^x = 4$ 입니다. 즉, $x = \ln 4 = 2\ln 2$ 입니다.

Step 4 : 역함수의 정적분 성질 적용

역함수와 원함수의 기하학적 넓이 관계(또는 치환적분법)에 의하여 다음 등식이 성립합니다.

$$ \int_{\ln 2}^{2\ln 2} f(x) dx + \int_{f(\ln 2)}^{f(2\ln 2)} g(x) dx = [x \cdot f(x)]_{\ln 2}^{2\ln 2} $$

$f(\ln 2) = 0$, $f(2\ln 2) = 14$ 이므로, 구하고자 하는 적분식은 다음과 같이 변형됩니다.

$$ \int_0^{14} g(x) dx = \left( 2\ln 2 \times 14 - \ln 2 \times 0 \right) - \int_{\ln 2}^{2\ln 2} f(x) dx $$ $$ \int_0^{14} g(x) dx = 28\ln 2 - \int_{\ln 2}^{2\ln 2} (e^{2x} + e^x - 6) dx $$

Step 5 : 원함수의 정적분 계산

$$ \int_{\ln 2}^{2\ln 2} (e^{2x} + e^x - 6) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + e^x - 6x \right]_{\ln 2}^{2\ln 2} $$
$$ = \left( \frac{1}{2}e^{4\ln 2} + e^{2\ln 2} - 6(2\ln 2) \right) - \left( \frac{1}{2}e^{2\ln 2} + e^{\ln 2} - 6(\ln 2) \right) $$
$$ = \left( \frac{1}{2}(16) + 4 - 12\ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2}(4) + 2 - 6\ln 2 \right) $$
$$ = (8 + 4 - 12\ln 2) - (2 + 2 - 6\ln 2) $$
$$ = 12 - 12\ln 2 - 4 + 6\ln 2 = 8 - 6\ln 2 $$

Step 6 : 최종 결론 도출

Step 4의 식에 Step 5에서 구한 정적분 값을 대입합니다.

$$ \int_0^{14} g(x) dx = 28\ln 2 - (8 - 6\ln 2) = -8 + 34\ln 2 $$

따라서 $p = -8$, $q = 34$ 이며, 구하고자 하는 $p+q$ 의 값은 $-8 + 34 = 26$ 입니다.

정답은 ③번 입니다.

3 [이론 매칭]

지수함수의 극한과 미정계수법

수학 II 및 미적분. 변수가 음의 무한대로 갈 때 지수함수 $e^x$가 $0$에 수렴하는 성질을 이용하여 미지수를 확정 짓습니다.

로그의 성질

수학 I. $e^{n \ln a} = e^{\ln a^n} = a^n$ 의 성질을 활용하여 복잡한 지수식을 유리수로 계산해 냅니다.

역함수의 정적분 (치환적분법)

미적분. 역함수를 직접 구하기 어려울 때 기하학적 넓이 관계 $\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(x)dx = bf(b) - af(a)$ 를 적용하거나, 치환적분법을 통해 원함수의 적분으로 우회하여 계산합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 오개념 : 역함수 $g(x)$의 직접적인 대수적 유도 시도

함수 $y = e^{2x} + e^x - 6$ 의 역함수를 구하기 위해 $x$ 와 $y$ 를 바꾸어 $x = e^{2y} + e^y - 6$ 을 푸는 시도를 할 수 있습니다. 근의 공식을 통해 $y$ 를 식으로 나타낼 수는 있지만, 이후 적분 과정에서 치명적인 복잡성을 마주하게 됩니다.

수학적 증명 : 대수적 접근의 한계성

방정식 $e^{2y} + e^y - (x+6) = 0$ 에서 $X = e^y$ 로 치환하면 $X^2 + X - (x+6) = 0$ 입니다.
근의 공식을 사용하면 $X = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(-x-6)}}{2}$ ($X > 0$ 이므로 양의 부호만 채택).
따라서 역함수 $g(x) = \ln\left(\frac{-1 + \sqrt{4x+25}}{2}\right)$ 가 됩니다.

이 함수를 정적분 식에 대입하면 $\int_0^{14} \ln\left(\frac{-1 + \sqrt{4x+25}}{2}\right) dx$ 를 계산해야 합니다. 이러한 형태는 부분적분과 무리식의 치환적분을 여러 번 거쳐야 하므로 고등학교 교과 과정의 제한 시간 내에서 실수를 유발할 확률이 압도적으로 높습니다. 역함수의 성질을 기하학적으로 치환하여 푸는 것이 출제 위원이 의도한 본질입니다.

5 [핵심 이론 증명]

역함수의 정적분 기본 정리 기하학적 증명

연속이고 증가(또는 감소)하는 함수 $f(x)$ 와 그 역함수 $g(x)$ 에 대하여, 다음 공식의 성립을 직관적으로 증명합니다.

a b f(a) f(b) ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy y = f(x)

좌표평면에서 곡선 $y = f(x)$를 생각해보겠습니다. 붉은색 영역은 $x$가 $a$부터 $b$까지 변할 때 곡선 아래의 넓이로, $\int_a^b f(x) dx$ 를 의미합니다.

반면, 역함수 $g(y)$의 적분 $\int_{f(a)}^{f(b)} g(y) dy$ 는 $y$축을 기준으로 $y$가 $f(a)$부터 $f(b)$까지 변할 때 곡선 왼쪽의 넓이인 푸른색 영역을 의미합니다.

전체 도형은 가로가 $b$, 세로가 $f(b)$인 큰 직사각형에서 가로 $a$, 세로 $f(a)$인 작은 직사각형을 제외한 ㄱ자 형태의 도형입니다. 따라서 두 영역의 넓이의 합은 다음과 같이 증명됩니다.

$$ \int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y) dy = b f(b) - a f(a) $$

2D 시각화 역함수 정적분 기하학적 시뮬레이터

적분 상한선 $t$ : 0.00
$\int f(x)dx$ : 0.00
$\int g(x)dx$ : 0.00
직사각형 넓이 관계 확인 : $t \times f(t) - \ln 2 \times 0$ Total Area $\approx$ 0.000
💡 슬라이더로 상한선을 변경하거나, 캔버스를 드래그/휠하여 확대/이동해 보세요.

Focus y축 적분을 통한 넓이 환산

수능에서 가장 자주 출제되는 역함수 정적분의 기하학적 해석입니다. 직접 역함수 $g(x)$를 구하지 않아도, 원함수 $f(x)$가 그려내는 y축 사이의 넓이(푸른색)가 곧 역함수의 정적분 $\int g(x)dx$ 임을 시각적으로 체감할 수 있습니다. 슬라이더를 $2\ln 2$ (우측 끝)로 이동시키면 문제에서 요구한 $\int_0^{14} g(x)dx$ 에 해당하는 전체 도형이 완성됩니다.