평면벡터의 연산과 기하학적 추론의 완벽한 융합
Q 문제 원문
29. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{AB} = \overline{CD} = \overline{AD} = 2$, $\angle ABC = \angle BCD = \frac{\pi}{3}$ 인 사다리꼴 ABCD가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 P, Q에 대하여 $\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ}$ 의 값을 구하시오. [4점]
(가) $\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BP})$
(나) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PQ} = 6$
(다) $2 \times \angle BQA = \angle PBQ < \frac{\pi}{2}$
1 출제의도
이 문항은 평면벡터의 사칙연산과 내적의 성질을 기하학적 의미로 해석할 수 있는지 평가합니다. 특히, 벡터 방정식을 통해 특정 점의 위치를 파악하고, 각의 조건을 활용하여 삼각형의 기하학적 성질(이등변삼각형 등)을 유추하여 점의 궤적을 결정하는 고도의 종합적 추론 능력을 요구합니다.
2 상세 풀이 (Step-by-Step)
좌표평면의 도입과 꼭짓점의 좌표 설정
사다리꼴의 기하학적 특징을 대수적으로 처리하기 위해 좌표평면을 도입합니다. 점 $B$를 원점 $(0, 0)$으로 두고 선분 $BC$가 $x$축 위에 오도록 설정합니다.
$A = (2\cos\frac{\pi}{3}, 2\sin\frac{\pi}{3}) = (1, \sqrt{3})$
$\overline{AD} = 2$ 이고 $AD \parallel BC$ 이므로, 점 $D$는 점 $A$에서 $x$축 방향으로 $2$만큼 이동한 점입니다.
$D = (1 + 2, \sqrt{3}) = (3, \sqrt{3})$
등변사다리꼴의 대칭성에 의해, 점 $C$의 $x$좌표는 점 $D$의 $x$좌표에 $2\cos\frac{\pi}{3}=1$을 더한 값입니다.
$C = (3 + 1, 0) = (4, 0)$
조건 (가)를 이용한 점 P의 위치 결정
주어진 조건 (가) $\overrightarrow{AC} = 2(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BP})$ 를 정리하여 점 $P$의 위치 벡터를 구합니다.
$\overrightarrow{AC} = C - A = (4, 0) - (1, \sqrt{3}) = (3, -\sqrt{3})$
$\overrightarrow{AD} = D - A = (3, \sqrt{3}) - (1, \sqrt{3}) = (2, 0)$
조건 (가)에 대입하여 $\overrightarrow{BP}$에 대해 정리합니다.
$2\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD}$
$2\overrightarrow{BP} = (3, -\sqrt{3}) - 2(2, 0) = (3 - 4, -\sqrt{3}) = (-1, -\sqrt{3})$
$\therefore \mathbf{\overrightarrow{BP} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$
점 $B$가 원점이므로 점 $P$의 좌표는 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 입니다.
여기서 중요한 기하학적 사실을 발견할 수 있습니다. 벡터 $\overrightarrow{BA} = A - B = (1, \sqrt{3})$ 와 비교해보면,
$\overrightarrow{BP} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ 이 성립합니다. 즉, 점 $P$는 직선 $AB$ 위에 존재하며(한 직선 위의 점), 점 $B$를 기준으로 점 $A$의 반대편에 위치합니다.
조건 (다)와 외각의 성질을 이용한 이등변삼각형 발견
조건 (다) $2 \times \angle BQA = \angle PBQ$ 를 분석합니다.
앞서 Step 2에서 점 $A, B, P$가 이 순서대로 한 직선 위에 있음을 확인했습니다. 따라서 $\angle PBQ$는 삼각형 $ABQ$의 점 $B$에서의 외각(Exterior angle)에 해당합니다.
$\angle PBQ = \angle BAQ + \angle BQA$
문제의 조건 (다)에서 $\angle PBQ = 2\angle BQA$ 이므로,
$2\angle BQA = \angle BAQ + \angle BQA$
$\therefore \mathbf{\angle BQA = \angle BAQ}$
두 밑각의 크기가 같으므로 삼각형 $ABQ$는 $\overline{BQ} = \overline{AB}$ 인 이등변삼각형입니다.
$\overline{AB} = 2$ 이므로 $\overline{BQ} = 2$ 입니다. 즉, 점 $Q$는 점 $B(0,0)$를 중심으로 하고 반지름이 $2$인 원 위의 점입니다.
조건 (나) 내적 연산과 점 Q의 정확한 좌표 산출
조건 (나) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PQ} = 6$ 을 활용하여 점 $Q$의 좌표를 구합니다.
벡터 $\overrightarrow{PQ}$를 위치벡터의 차로 분리하면 $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{BQ} - \overrightarrow{BP}$ 입니다.
$\overrightarrow{AC} = (3, -\sqrt{3})$, $\overrightarrow{BP} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 이므로
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BP} = 3\left(-\frac{1}{2}\right) + (-\sqrt{3})\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$
(즉, $\overrightarrow{AC}$ 와 직선 $AB$는 서로 수직입니다.)
이를 조건식에 대입하면,
$\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{BQ} - \overrightarrow{BP}) = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BQ} - \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BQ} - 0 = 6$
따라서 $\mathbf{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BQ} = 6}$ 입니다.
점 $Q$의 좌표를 $(x, y)$라 하면, $\overrightarrow{BQ} = (x, y)$ 입니다.
내적 식은 $3x - \sqrt{3}y = 6 \implies \sqrt{3}y = 3x - 6 \implies y = \sqrt{3}(x - 2)$ 가 됩니다.
또한 Step 3에서 점 $Q$는 원점 중심, 반지름 2인 원 위의 점이므로 $x^2 + y^2 = 4$ 를 만족합니다.
$x^2 + 3(x^2 - 4x + 4) = 4$
$4x^2 - 12x + 8 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0$
따라서 $x = 1$ 또는 $x = 2$ 입니다.
- $x = 2$ 인 경우: $y = 0 \implies Q_2(2, 0)$. 이 때, $\overrightarrow{BQ_2} = (2, 0)$ 이 되어 $\overrightarrow{BP}$와의 각을 조사하면 둔각이 되어 조건 (다)의 $\angle PBQ < \frac{\pi}{2}$ 에 모순됩니다.
- $x = 1$ 인 경우: $y = -\sqrt{3} \implies \mathbf{Q(1, -\sqrt{3})}$. 이 경우 $\overrightarrow{BP}$와 $\overrightarrow{BQ}$가 이루는 각이 $\frac{\pi}{3}$ 로 예각 조건에 부합합니다.
최종 내적값 도출
이제 모든 점의 좌표를 알았으므로 구하고자 하는 $\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ}$ 의 값을 계산합니다.
$\overrightarrow{CP} = P - C = \left(-\frac{9}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$D = (3, \sqrt{3})$, $Q = (1, -\sqrt{3})$ 이므로
$\overrightarrow{DQ} = Q - D = (1 - 3, -\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3})$
최종 내적 계산:
$\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{DQ} = \left(-\frac{9}{2}\right)(-2) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-2\sqrt{3}) = 9 + 3 = \mathbf{12}$
3 이론 매칭
위치벡터와 벡터의 뺄셈
평면 위의 점을 원점 기준의 벡터로 표현하는 방법. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 의 성질을 이용하여 도형 내 임의의 두 점을 연결한 벡터를 좌표성분으로 치환합니다.
평면벡터의 내적과 성분
두 벡터 $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2), \overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ 의 내적 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$. 내적값이 0일 때 두 벡터는 직교한다는 성질은 연산과정의 극적인 간소화를 가져옵니다.
삼각형의 외각의 성질
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다는 중학 기하 이론. 각도 조건을 길이 조건(이등변삼각형)으로 전환하는 핵심입니다.
원의 방정식
중심이 $(a, b)$이고 반지름이 $r$인 원의 방정식 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. 점 $Q$가 반지름 2인 원 위에 있음을 파악하여 내적으로 얻은 직선과의 교점 문제로 환원합니다.
4 실수 포인트 및 증명
가장 잦은 오개념 : 조건 (다)를 단순히 대수적으로만 접근하려는 함정
각의 크기에 2배가 적용되어 있다는 조건 $2 \times \angle BQA = \angle PBQ$를 보았을 때, 많은 학생들이 $\theta$와 $2\theta$를 두고 대수적인 방정식이나 코사인법칙만으로 풀어내려다 연산이 끝없이 길어지는 오류를 범합니다. 기하는 먼저 도형의 위치관계를 살피는 것이 우선입니다. 점 $P, B, A$가 한 직선 위의 점임을 간파하면 이는 '외각의 정리'를 활용하라는 출제자의 강력한 시그널입니다.
증명 : 삼각형의 외각과 이등변삼각형의 관계
[증명]
1. 삼각형 내각의 합은 $180^\circ$ 이므로, $\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
2. 평각의 크기는 $180^\circ$ 이므로, $\angle BCA + \angle ACD = 180^\circ$
3. 위 두 식을 연립하면 $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC$ (외각의 정리)
4. 가정에 의해 $\angle ACD = 2\angle BAC$ 이므로, $2\angle BAC = \angle ABC + \angle BAC$
5. 양변에서 $\angle BAC$를 빼면 $\mathbf{\angle BAC = \angle ABC}$
6. 두 내각의 크기가 같으므로 대변의 길이는 같아 $\overline{BC} = \overline{AC}$ (본 문제의 상황에 대입하면 $\overline{BQ} = \overline{AB}$가 성립)
벡터 시뮬레이터 : 평면 위의 궤적 분석
좌클릭 드래그로 화면 이동, 휠 스크롤로 확대/축소하여 문제의 조건을 시각적으로 확인해보세요.