조건부확률과 홀짝성의 추론
Q [문제 원문]
29. 앞면에는 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$이 하나씩 적혀 있는 $6$장의 카드가 있다. 이 $6$장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $k$번째 자리에 자연수 $k$가 보이도록 놓여 있다.
이 $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
$k$번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.
위의 시행을 $3$번 반복한 후 $6$장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 조건부확률의 기본 개념을 묻고 있으며, 시행 결과에 따른 전체 합의 홀짝성(Parity)을 논리적으로 추론할 수 있는지를 평가합니다. 주사위 눈의 값 자체보다 그에 따른 카드의 뒷면과 앞면 전환이 가져오는 '수의 합산 변화량'의 홀짝성을 파악하여, 복잡한 경우의 수를 독립적인 홀수/짝수 케이스로 단순화하는 수학적 모델링 능력이 핵심입니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 카드 눈의 합산과 기우성(홀짝성)의 추론
초기 6장의 카드에 적힌 수의 합은 $1+2+3+4+5+6 = 21$ 로 홀수입니다. 주사위를 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때, 해당 카드를 뒤집는 시행은 전체 합에 다음과 같은 변화를 유발합니다.
- 앞면($k$)에서 뒷면($0$)으로 전환 시 : 합에서 $k$를 차감 ($-k$)
- 뒷면($0$)에서 앞면($k$)으로 전환 시 : 합에서 $k$를 가산 ($+k$)
임의의 정수 $S$에 대하여 $S+k$와 $S-k$의 기우성(홀짝성)은 항상 동일합니다.
($(S+k) - (S-k) = 2k$ 가 짝수이므로)
따라서 특정 카드의 현재 앞뒷면 상태와 무관하게, 전체 합의 기우성 변화는 오직 주사위 눈 $k$의 기우성에 의해서만 결정됩니다.
최종 합이 짝수가 되기 위한 조건:
$21$(초기 합, 홀수) $+$ (3회 시행 동안의 $k$값들의 홀짝성 누적) $=$ 짝수
홀수에 홀수를 더해야 짝수가 되므로, 주사위를 3번 던져 나온 눈의 합은 반드시 '홀수'가 되어야 합니다.
Step 2 : 조건 A (주사위 눈의 합이 홀수)의 경우의 수
주사위 3번을 던져 나온 눈의 수의 합이 홀수가 되는 표본공간의 부분집합(사건 A)을 구합니다. 세 수의 합이 홀수가 되려면 (홀수 3개) 또는 (홀수 1개, 짝수 2개)로 구성되어야 합니다.
$3 \times 3 \times 3 = 27$ 가지
[Case 2] 홀수 1회, 짝수 2회가 나오는 경우
홀수가 나오는 1개의 시행 회차를 선택: ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$ 가지
각 회차별 홀수/짝수 눈의 수 선택: $3 \times 3 \times 3 = 27$ 가지
$3 \times 27 = 81$ 가지
따라서 조건 A를 만족하는 전체 경우의 수 $n(A)$는 $27 + 81 = 108$ 가지입니다.
Step 3 : 사건 A ∩ B ('1'이 정확히 한 번 나오는 경우) 탐색
사건 A를 만족하는 $108$가지 중에서, 주사위의 눈 '1'이 단 한 번만 나오는 사건을 B라고 할 때 곱의 법칙을 이용하여 $n(A \cap B)$를 산출합니다. '1'은 홀수라는 속성에 주의하여 분류합니다.
- '1'이 나오는 1개의 시행 회차를 선택: $3$ 가지
- 나머지 2회차에는 1을 제외한 홀수($3, 5$) 배정: $2 \times 2 = 4$ 가지
결과: $3 \times 4 = 12$ 가지
[Case 2] (홀, 짝, 짝)에서 1이 단 한 번 나오는 경우
- 홀수가 나오는 회차(3가지)의 눈이 무조건 '1'이어야 함: $3 \times 1 = 3$ 가지
- 나머지 2개의 짝수 회차에는 짝수($2, 4, 6$) 자유롭게 배정: $3 \times 3 = 9$ 가지
결과: $3 \times 9 = 27$ 가지
따라서 $n(A \cap B)$는 $12 + 27 = 39$ 가지입니다.
Step 4 : 조건부확률 계산
최종적으로 구하고자 하는 확률은 사건 A가 일어났음을 전제로 한 사건 B의 조건부확률 $P(B|A)$ 입니다.
$$ P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $$
$$ P(B|A) = \frac{39}{108} $$
분모와 분자를 $3$으로 약분하면,
$$ P(B|A) = \frac{13}{36} $$
문제에서 이 확률을 $\frac{q}{p}$ 라고 하였고, $36$과 $13$은 서로소인 자연수이므로 $p=36$, $q=13$ 입니다.
$$ \therefore p + q = 36 + 13 = 49 $$
따라서 정답은 ③번 입니다.
3 [이론 매칭]
조건부확률
표본공간 $S$의 두 사건 $A, B$에 대하여 $P(A)>0$일 때, 사건 $A$가 일어났다는 조건 하에 사건 $B$가 일어날 확률을 정의합니다.
합의 법칙과 곱의 법칙
배반사건의 경우의 수를 합산(합의 법칙)하고, 잇달아 일어나는 독립적인 선택 과정의 경우의 수를 곱하여(곱의 법칙) 부분집합의 원소의 개수를 도출합니다.
정수의 기우성 (Parity)
임의의 덧셈 연산에서 두 정수의 차와 합은 동일한 기우성을 가짐을 이용하여, 복잡한 상태 변화를 기우성이라는 단일한 속성으로 환원하는 수학적 모델링 기법입니다.
4 [헷갈리기 쉬운 포인트]
🚨 오개념 : 개별 카드의 앞뒷면 상태를 일일이 추적하려는 접근
동일한 주사위 눈이 중복해서 나올 경우 카드가 앞면에서 뒷면으로 다시 뒤집히기 때문에, 이를 수형도로 일일이 분류하려는 접근은 계산 실수를 유발하고 시간을 크게 소모합니다.
해결책 : 덧셈의 기우성 불변성 활용
특정 카드가 짝수 번 뒤집히면 원래의 앞면 상태로 돌아오며, 홀수 번 뒤집히면 뒷면이 됩니다. 하지만 이 문제에서 묻는 것은 '특정 카드의 상태'가 아니라 '전체 수의 합의 기우성'입니다.
초기 총합을 $S$라 하고, 주사위 눈 $k$가 나올 때 변화하는 값을 $\Delta$라고 하면,
해당 카드가 앞면에서 뒷면이 될 때: 새로운 합 $= S - k$
해당 카드가 뒷면에서 앞면이 될 때: 새로운 합 $= S + k$
$(S+k) - (S-k) = 2k$ 이며, $2k$는 짝수이므로 $S+k$와 $S-k$는 홀수/짝수가 완전히 일치합니다.
따라서 카드의 물리적 상태(앞/뒤)에 연연할 필요 없이, 오직 주사위로 나온 숫자 $k$가 합산 연산에 기여하는 '기우성'만을 추적하면 문제가 매우 단순화됩니다.
5 [핵심 이론 증명]
조건부확률의 연산법칙 증명
조건부확률 $P(B|A)$를 계산할 때, 확률값들의 비율 $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 대신 경우의 수의 비율 $\frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ 로 계산할 수 있는 근거를 증명합니다.
표본공간 $S$가 유한 개의 근원사건으로 이루어져 있고, 각 근원사건이 일어날 확률이 모두 같다고 가정합니다(수학적 확률). 표본공간 $S$의 원소의 개수를 $n(S)$라고 하면,
사건 $A$가 일어날 확률 $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ 이며, 사건 $A \cap B$가 일어날 확률 $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)}$ 입니다.
조건부확률의 정의에 대입하면,
$$ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{n(A \cap B)}{n(S)}}{\frac{n(A)}{n(S)}} $$
분모와 분자에 $n(S)$를 곱하여 식을 간소화하면,
$$ P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $$
가 도출됩니다. 이 정리에 따라, 복잡한 전체 확률 공간 $216$을 매번 분모로 취급하지 않고, 사건 $A$의 집합 $108$가지를 새로운 축소된 표본공간으로 설정하여 계산의 효율성과 직관성을 확보할 수 있습니다.