30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 함수 $g(x) = e^{\sin \pi x} - 1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x) = g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $h(x)$는 $x=0$에서 극댓값 $0$을 갖는다.
(나) 열린구간 $(0, 3)$에서 방정식 $h(x)=1$의 서로 다른 실근의 개수는 $7$이다.
$f(3)=\frac{1}{2}$, $f'(3)=0$일 때, $f(2)=\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
이 문항은 합성함수의 미분법을 활용하여 함수의 극대와 극소 조건을 대수적으로 분석하는 능력과, 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식의 실근의 개수를 기하학적으로 추론하는 능력을 종합적으로 평가합니다. 특히, 극댓값을 가질 때 도함수의 부호 변화를 엄밀하게 판정하는 과정이 핵심입니다.
조건 (가)에 의해 함수 $h(x) = g(f(x))$는 $x=0$에서 극댓값 $0$을 가집니다. 따라서 $h(0) = 0$ 이고 $h'(0) = 0$ 이 성립해야 합니다. 먼저 $h(0) = 0$ 조건을 풀어봅시다.
$\sin(\pi x) = 0$ 을 만족하는 $x$는 정수이므로, $f(0)$은 정수라는 사실을 도출할 수 있습니다.
함수 $g(x) = e^{\sin \pi x} - 1$ 의 도함수는 $g'(x) = \pi \cos(\pi x) e^{\sin \pi x}$ 입니다. 합성함수 미분법에 의해 $h'(x)$를 구하면 다음과 같습니다.
$x=0$을 대입하면 $h'(0) = \pi \cos(\pi f(0)) e^{\sin(\pi f(0))} f'(0) = 0$ 입니다. 여기서 앞선 결과에 따라 $f(0)$이 정수이므로 $\sin(\pi f(0)) = 0$ 이고, $e^{\sin(\pi f(0))} = 1$ 입니다. 또한 정수 $f(0)$에 대해 $\cos(\pi f(0))$는 $1$ 또는 $-1$의 값을 가집니다. 즉, $0$이 아닙니다. 결과적으로 곱이 $0$이 되기 위해서는 $f'(0) = 0$ 이어야 합니다.
$f(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이고, $f'(0)=0$, $f'(3)=0$ 이므로 극점의 $x$좌표는 $0$과 $3$입니다. 최고차항이 양수이므로 삼차함수 $f(x)$는 $\boldsymbol{x=0}$에서 극대를 가지고, $\boldsymbol{x=3}$에서 극소를 가집니다.
$h(x)$가 $x=0$에서 극댓값을 가지려면 $x=0$ 부근에서 $h'(x)$의 부호가 양수(+)에서 음수(-)로 변해야 합니다. $h'(x) = g'(f(x)) f'(x)$ 이고, $x=0$ 부근에서 $f'(x)$의 부호는 양(+)에서 음(-)으로 변합니다 (극대이므로). 따라서 두 값의 곱인 $h'(x)$도 양에서 음으로 변하려면, $x=0$ 부근에서 곱해지는 값인 $g'(f(x))$의 부호가 양수여야 합니다.
$f(0)$은 정수이므로 $\cos(\pi f(0))$가 양수이려면 그 값은 $1$이 되어야 하고, 이는 $f(0)$이 짝수임을 의미합니다. 따라서 $f(0) = 2m$ ($m$은 정수)라고 둘 수 있습니다.
방정식 $h(x) = 1$ 을 풀면 $e^{\sin(\pi f(x))} - 1 = 1 \implies e^{\sin(\pi f(x))} = 2$ 이고, 양변에 자연로그를 취하면 $\sin(\pi f(x)) = \ln 2$ 가 됩니다. 열린구간 $(0, 3)$에서 $f(x)$는 극댓값 $f(0)=2m$ 에서 극솟값 $f(3)=\frac{1}{2}$ 까지 단조감소합니다. $f(x) = t$ 로 치환하면, $x \in (0, 3)$일 때 $t \in (\frac{1}{2}, 2m)$ 이 되며, 이 범위에서 방정식 $\sin(\pi t) = \ln 2$ 의 실근이 $7$개여야 합니다.
삼차함수 $f(x)$는 $x=0, 3$에서 극값을 가지므로 도함수는 $f'(x) = 3ax(x-3) = 3ax^2 - 9ax$ $(a > 0)$ 입니다. 이를 부정적분하여 함수식을 완성합니다.
$f(0) = 8$ 이므로 $C = 8$ 입니다. 또한 $f(3) = \frac{1}{2}$ 조건을 이용하여 계수 $a$를 구합니다.
구하고자 하는 값은 $f(2)$ 이므로 이를 대입하여 계산합니다.
$p=9, q=22$ 로 서로소인 자연수 조건을 만족합니다.
따라서 $p+q = 9+22 = 31$ 이며, 정답은 ③번 입니다.
미적분 교과. $y = g(f(x))$의 꼴로 주어진 함수의 도함수 $y' = g'(f(x))f'(x)$ 를 정확히 구하고 연쇄 법칙을 적용하는 것이 필수적입니다.
수학 II 및 미적분 교과. $x=a$에서 극값을 가지기 위해 도함수가 $0$이 될 뿐만 아니라, 좌우에서 부호 변화(양 $\to$ 음 이면 극대)가 일어나야 함을 대수적으로 확인합니다.
수학 I 교과. 함수 $y = \sin(\pi x)$의 주기성을 파악하고, 특정 상수 $y = \ln 2$와의 교점의 개수를 제한된 정의역 내에서 세는 논리적 추론이 요구됩니다.
많은 학생들이 $h'(0)=0$ 조건에서 $\sin(\pi f(0)) = 0$ 이므로 $f(0)$이 정수라는 사실까지는 쉽게 도출합니다. 하지만 $x=0$에서 '극댓값'을 가진다는 성질을 도함수의 부호 변화와 연결 짓지 않고 단순히 임의의 정수로 두고 풀이를 전개하면 올바른 삼차함수를 결정할 수 없습니다.
$h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$ 구조에서 $x=0$ 좌우의 부호 변화를 확인합니다.
1. 삼차함수 특성 상 $x=0$에서 극대이므로, $x=0$의 좌측($-$)에서 $f'(x) > 0$, 우측($+$)에서 $f'(x) < 0$ 입니다.
2. $h(x)$도 $x=0$에서 극대이려면, $x=0$ 좌우에서 $h'(x)$가 양수에서 음수로 변해야 합니다.
3. 두 도함수의 부호 변화 양상이 완벽히 일치해야 하므로, $x=0$ 부근에서 곱해지는 값인 $g'(f(x))$는 반드시 양수(Positive)여야 합니다.
4. $g'(f(0)) = \pi \cos(\pi f(0))$ 가 양수이려면 정수 $f(0)$에 대해 $\cos(\pi f(0)) = 1$ 이어야 하므로, 기함수적 특성에 의해 $f(0)$은 짝수임이 증명됩니다.
이 문제를 관통하는 핵심은 겉함수 $g(x)$와 속함수 $f(x)$가 결합되었을 때 극값이 언제 발생하며, 그 종류(극대/극소)가 어떻게 결정되는지 논리적으로 규명하는 것입니다.
함수가 미분 가능할 때 극값을 갖는 점 $x=a$ 에서는 반드시 미분계수가 $0$이 되어야 합니다. (페르마의 정리)
즉, 합성함수의 극값 후보점은 다음 두 가지 경우 중 하나에서 발생합니다.
Case A : 속함수의 미분계수가 0이 되는 점 ($f'(a) = 0$)
Case B : 겉함수의 미분계수가 0이 되는 지점을 속함수가 통과할 때 ($g'(f(a)) = 0$)
문항에서는 $x=0$에서 $h'(0)=0$ 임을 확인했습니다. 이때 $g(x)$의 도함수 구조에 의해 $g'(f(0)) \neq 0$ 이므로 무조건 Case A에 해당하여 $f'(0)=0$ 임을 확정했습니다. 극대/극소는 결국 $x=a$ 전후의 부호 변동이 결정합니다.