공간도형과 정사영의 대수적 해석
Q [문제 원문]
30.
좌표공간에 정사면체 ABCD가 있다. 정삼각형 BCD의 외심을 중심으로 하고 점 B를 지나는 구를 $S$라 하자.
구 $S$와 선분 AB가 만나는 점 중 B가 아닌 점을 P,
구 $S$와 선분 AC가 만나는 점 중 C가 아닌 점을 Q,
구 $S$와 선분 AD가 만나는 점 중 D가 아닌 점을 R라 하고,
점 P에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\alpha$라 하자.
구 $S$의 반지름의 길이가 6일 때, 삼각형 PQR의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 공간도형에서 정사면체의 기하학적 대칭성을 이해하고, 이를 적절한 좌표공간으로 옮겨 대수적으로 해석할 수 있는지 평가합니다. 특히 구와 직선의 교점 도출, 접평면의 법선벡터 이해, 두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 관계를 종합적으로 추론하는 능력이 핵심입니다.
2 [상세 풀이]
좌표공간의 설정 및 꼭짓점의 좌표 도출
문제를 간결하게 해결하기 위해 정삼각형 BCD의 외심을 원점 $H(0, 0, 0)$로 두고, 평면 BCD를 $xy$평면($z=0$)으로 설정합니다.
구 $S$는 원점을 중심으로 하고 점 B를 지나므로, 구의 반지름은 $\overline{HB} = 6$ 입니다.
$\frac{a}{\sqrt{3}} = 6 \implies a = 6\sqrt{3}$
정사면체의 높이 $h$는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 구해집니다.
$h = \sqrt{a^2 - \overline{HB}^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{108 - 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
점 B를 $x$축 위에 두면 각 꼭짓점의 좌표를 다음과 같이 설정할 수 있습니다.
$H(0, 0, 0)$
$A(0, 0, 6\sqrt{2})$
$B(6, 0, 0)$
직선과 구의 교점 P의 위치 결정
구 $S$의 방정식은 $x^2 + y^2 + z^2 = 36$ 입니다.
점 A와 B를 지나는 직선의 방정식을 매개변수 $t$를 이용하여 표현합니다. 점 B에서 A 방향으로의 벡터 방정식은 다음과 같습니다.
$\overrightarrow{HX} = (1-t)\overrightarrow{HB} + t\overrightarrow{HA} = (6 - 6t, 0, 6\sqrt{2}t)$ (단, $0 \le t \le 1$)
이 점이 구 $S$ 위에 있어야 하므로 구의 방정식에 대입합니다.
$(6 - 6t)^2 + 0^2 + (6\sqrt{2}t)^2 = 36$
$36(1 - 2t + t^2) + 72t^2 = 36$
$1 - 2t + t^2 + 2t^2 = 1 \implies 3t^2 - 2t = 0$
$t(3t - 2) = 0$
$t=0$인 경우는 점 B를 의미하므로, 점 P는 $t=\frac{2}{3}$ 일 때의 점입니다.
이는 점 P가 선분 AB를 $B$로부터 $2 : 1$ 로 내분하는 점(즉, $AP : PB = 1 : 2$)임을 의미합니다.
좌표에 대입하면 점 $P$의 좌표는 $P(2, 0, 4\sqrt{2})$ 가 됩니다.
삼각형 PQR의 위치와 넓이 계산
정사면체의 대칭성에 의해, 점 Q와 점 R 역시 각각 선분 AC, AD를 점 A로부터 $1 : 2$ 로 내분하는 지점에 위치합니다.
점 P, Q, R의 $z$좌표는 모두 $4\sqrt{2}$ 로 동일하므로, 평면 PQR은 평면 BCD($xy$평면)와 평행합니다.
넓이의 비는 닮음비의 제곱인 $1^2 : 3^2 = 1 : 9$ 가 됩니다.
삼각형 BCD의 넓이 $S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3}$
따라서 삼각형 PQR의 넓이 $S_{PQR} = 27\sqrt{3} \times \frac{1}{9} = 3\sqrt{3}$
두 평면이 이루는 각($\theta$) 도출
구 $S$ 위의 점 P에서의 접평면 $\alpha$의 법선벡터 $\vec{n}_{\alpha}$는 중심 H에서 P로 향하는 위치벡터와 같습니다.
$\vec{n}_{\alpha} = \overrightarrow{HP} = (2, 0, 4\sqrt{2})$
평면 PQR은 $xy$평면과 평행하므로, 이 평면의 법선벡터 $\vec{n}_{PQR}$은 $z$축 방향의 기본 단위벡터로 잡을 수 있습니다.
$\vec{n}_{PQR} = (0, 0, 1)$
$|\vec{n}_{\alpha}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 32} = 6$
$|\vec{n}_{PQR}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$
$\cos\theta = \frac{\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{PQR}}{|\vec{n}_{\alpha}||\vec{n}_{PQR}|} = \frac{(2 \times 0) + (0 \times 0) + (4\sqrt{2} \times 1)}{6 \times 1} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
최종 정사영 넓이 계산
삼각형 PQR을 평면 $\alpha$ 위로 정사영시킨 넓이 $k$는 공식 $k = S_{PQR} \times \cos\theta$ 를 따릅니다.
따라서 구하고자 하는 값은
$k^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$
3 [이론 매칭]
정사면체의 기하학적 성질
한 면의 무게중심(외심)에서 마주보는 꼭짓점을 이은 수선은 정사면체의 높이가 되며, 피타고라스 정리를 통해 각 꼭짓점의 3차원 좌표를 설정하는 기반이 됩니다.
구의 방정식과 매개변수 방정식
직선을 매개변수 $t$로 표현하여 구의 방정식에 대입함으로써, 직선과 구의 교점을 대수적으로 정확하게 찾아내는 해석기하학적 기법입니다.
접평면의 법선벡터
구의 표면 위의 한 점 P에서의 접평면은 중심에서 점 P로 향하는 반지름 벡터(위치벡터)와 수직이라는 기하학적 정리를 이용합니다.
이면각과 정사영의 넓이
두 평면이 이루는 각 $\theta$는 두 평면의 법선벡터가 이루는 예각과 같으며, $S' = S \cos\theta$ 공식을 통해 투영된 면적을 계산합니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
학생들이 자주 범하는 오개념
많은 학생들이 평면 PQR과 평면 BCD가 평행하다는 사실을 엄밀한 증명 없이 직관에 의존하여 넘기거나, 접평면 $\alpha$의 방정식을 구하려고 시도하다가 계산 실수를 범합니다. 정사영의 넓이를 구할 때는 평면의 방정식 자체가 필요한 것이 아니라 두 평면의 법선벡터 간의 내적만으로 충분하다는 점을 인지해야 합니다.
[핵심 이론 증명] 접평면의 법선벡터와 구의 반지름
정리 : 중심이 $H$인 구 $S$ 위의 점 $P$에서 접하는 평면 $\alpha$에 대하여, 벡터 $\overrightarrow{HP}$는 평면 $\alpha$의 법선벡터이다.
1. 평면 $\alpha$ 위의 임의의 점을 $X$라 하자. 점 $P$는 구와 평면의 유일한 교점이다.
2. 삼각형 $HPX$에서 $\overline{HX}$는 구 중심에서 접평면 밖의 점까지의 거리이므로 구의 반지름 $\overline{HP}$보다 항상 크다. 즉, $\overline{HX} > \overline{HP}$ (점 $X \neq P$일 때).
3. 점 $H$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $P'$라 하면, 기하학적 거리가 최단인 점이 바로 수선의 발이다. 최단 거리가 점 $P$에서 발생하므로 $P = P'$ 이다.
4. 따라서 직선 $HP$는 평면 $\alpha$와 수직이 되며, 벡터 $\overrightarrow{HP}$는 평면 $\alpha$의 수직인 법선벡터가 된다.