수능 출제 분석

속도와 거리를 활용한 위치 함수 추론 및 정적분 계산

Q 문제 원문

시각 $t=0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t (t \ge 0)$에서의 속도가 각각

$$ v_1(t) = t^2 - 6t + 5, \quad v_2(t) = 2t - 7 $$

이다. 시각 $t$에서의 두 점 P, Q 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$는 구간 $[0, a]$에서 증가하고, 구간 $[a, b]$에서 감소하고, 구간 $[b, \infty)$에서 증가한다. 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 점 Q가 움직인 거리는? (단, $0 < a < b$) [4점]

① $\frac{15}{2}$
② $\frac{17}{2}$
③ $\frac{19}{2}$
④ $\frac{21}{2}$
⑤ $\frac{23}{2}$

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 속도와 위치, 그리고 거리 사이의 미적분학적 관계를 정확히 이해하고 있는지를 평가합니다.

  • 속도 함수를 정적분하여 위치 함수 도출하는 능력
  • 두 점 사이의 거리 함수를 절댓값 기호를 포함한 수식으로 표현하고, 그 도함수를 통해 증감을 판별하는 능력
  • '위치의 변화량'과 '움직인 거리'의 개념적 차이를 구분하여 움직인 거리를 계산하는 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

두 점 P, Q의 위치 함수 구하기

두 점 P, Q가 $t=0$ 일 때 동시에 원점을 출발하므로 초기 위치는 모두 $0$ 입니다. 시각 $t$ 에서의 두 점 P, Q의 위치를 각각 $x_1(t), x_2(t)$ 라고 하면 위치 함수는 속도 함수의 정적분으로 구해집니다.

$$ x_1(t) = \int_0^t (s^2 - 6s + 5) ds = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t $$ $$ x_2(t) = \int_0^t (2s - 7) ds = t^2 - 7t $$
[참고도 1 : 속도 함수 $v_1(t), v_2(t)$ 의 그래프 (2D)] t축 y축 (v) v₁(t) v₂(t) 1 5 3.5
Step 2

거리 함수 $f(t)$ 정의 및 도함수 분석

두 점 사이의 거리 $f(t)$ 는 두 위치의 차이의 절댓값으로 정의됩니다.

$$ f(t) = |x_1(t) - x_2(t)| = \left| \left( \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t \right) - (t^2 - 7t) \right| $$ $$ f(t) = \left| \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t \right| $$

절댓값 기호 안의 함수를 $g(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$ 라고 합시다. 이 함수를 인수분해하여 부호를 판별합니다.

$$ g(t) = \frac{1}{3}t(t^2 - 12t + 36) = \frac{1}{3}t(t - 6)^2 $$

문제의 조건에서 $t \ge 0$ 이므로, 항상 $g(t) \ge 0$ 이 성립합니다. 따라서 절댓값 기호를 그대로 벗길 수 있습니다. (참고: $g(t) = \frac{1}{3}t(t-6)^2$ 이므로 $t=0$ 에서는 x축을 통과하고, $t=6$ 에서는 제곱 인수를 가져 x축에 접합니다.)

$$ f(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t $$
[참고도 2 : 절댓값 내부 함수 $g(t)$ 의 형태 (2D)] t축 y축 0 t=6 g(t) = (1/3)t(t-6)² t≥0 에서 항상 g(t)≥0 (t=0 통과, t=6 접함)
Step 3

구간 분석을 통한 상수 $a, b$ 도출

함수 $f(t)$ 의 증가와 감소를 판별하기 위해 도함수 $f'(t)$ 를 구합니다.

$$ f'(t) = t^2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) $$

$f'(t) = 0$ 이 되는 지점은 $t = 2, 6$ 입니다. 도함수의 부호를 조사하여 증감을 파악하면 다음과 같습니다.

  • $0 \le t < 2$ : $f'(t) > 0$ 이므로 증가
  • $2 < t < 6$ : $f'(t) < 0$ 이므로 감소
  • $t > 6$ : $f'(t) > 0$ 이므로 증가

문제의 조건 "구간 $[0, a]$에서 증가, $[a, b]$에서 감소, $[b, \infty)$에서 증가" 와 비교하면 다음 결과를 얻을 수 있습니다.

$$ a = 2, \quad b = 6 $$
[참고도 3 : 거리 함수 $f(t)$ 의 증감 형태 (2D)] t=2 (a) t=6 (b) 증가 감소 증가
Step 4

점 Q가 움직인 거리 최종 계산

문제에서 요구하는 것은 시각 $t=a=2$ 에서 $t=b=6$ 까지 점 Q가 움직인 거리입니다. 이는 속도 $v_2(t)$ 의 절댓값을 정적분한 값과 같습니다.

$$ \text{움직인 거리} = \int_{2}^{6} |v_2(t)| dt = \int_{2}^{6} |2t - 7| dt $$

$v_2(t) = 2t - 7$ 의 부호가 바뀌는 지점은 $t = \frac{7}{2} = 3.5$ 입니다. 따라서 적분 구간을 나누어 계산합니다.

$$ \int_{2}^{3.5} (7 - 2t) dt + \int_{3.5}^{6} (2t - 7) dt $$

이 정적분 값은 그래프 상에서 밑변이 $t$ 축 위에 있는 삼각형들의 넓이의 합과 동일하므로 기하학적으로 쉽게 구할 수 있습니다. (오른쪽 시뮬레이터 참조)

  • 첫 번째 삼각형 넓이 ( $2 \le t \le 3.5$ ) : $\frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 3 = \frac{9}{4}$
  • 두 번째 삼각형 넓이 ( $3.5 \le t \le 6$ ) : $\frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 5 = \frac{25}{4}$
최종 계산
$\frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$

따라서 점 Q가 움직인 거리는 $\frac{17}{2}$ 이며, 정답은 2번입니다.

3 이론 매칭

속도와 거리의 미적분학적 관계 정적분의 기하학적 의미 (넓이) 도함수를 이용한 함수의 증가와 감소 판별 절댓값을 포함한 함수의 미분 가능성 및 그래프

4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정

흔히 범하는 오개념 : 절댓값 처리 미흡 및 이동 거리와 위치 변화량의 혼동

  • 오류 1 : 거리 함수 $f(t)$ 에서 절댓값 부호 판별을 생략하는 경우

    $f(t) = | \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t |$ 에서 내부 식을 기계적으로 미분하여 풀이를 시도할 수 있습니다. 이 문제에서는 $t \ge 0$ 에서 내부 식이 항상 $0$ 이상이므로 우연히 정답을 맞출 수 있으나, 만약 부호가 바뀌는 지점이 존재했다면 증가/감소 구간이 완전히 달라지게 됩니다. 반드시 그래프 개형이나 인수분해를 통해 부호를 사전 점검해야 합니다.

  • 오류 2 : '움직인 거리'를 구할 때 단순 정적분을 수행하는 경우

    $\int_2^6 (2t - 7) dt$ 로 계산해버리면, 정방향 이동과 역방향 이동이 상쇄되어 '위치의 변화량'이 도출됩니다. '움직인 거리'는 경로의 총합이므로 반드시 $\int |v(t)| dt$ 의 형태로 속도의 절댓값을 적분해야 합니다.

    수학적 교정

    위치 변화량 = $\int_{a}^{b} v(t) dt$
    움직인 거리 = $\int_{a}^{b} |v(t)| dt$

5 핵심 이론 증명 : 속도와 움직인 거리

수직선 위를 움직이는 점의 속도 $v(t)$ 가 주어졌을 때, 시각 $t_1$ 에서 $t_2$ 까지 움직인 거리 $s$ 가 $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$ 가 되는 이유를 증명합니다.

  • 구간 $[t_1, t_2]$ 를 $n$ 개의 소구간으로 분할하고, 각 구간의 길이를 $\Delta t$ 라고 합니다.
  • 아주 짧은 시간 $\Delta t$ 동안의 위치 변화량 $\Delta x$ 는 그 순간의 속도 $v(t_i)$ 에 $\Delta t$ 를 곱한 근사값으로 표현됩니다.
    $\Delta x \approx v(t_i) \Delta t$
  • '움직인 거리'는 위치 변화량의 부호에 관계없이 크기만 누적한 것이므로, 절댓값을 취합니다.
    $\text{거리 성분} = |\Delta x| \approx |v(t_i)| \Delta t$
  • 모든 소구간에 대해 합산한 후 극한 $n \to \infty$ ($\Delta t \to 0$)을 취하면 리만 합의 정의에 의해 정적분이 됩니다.
    $$ s = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} |v(t_i)| \Delta t = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt $$

움직인 거리 적분 시뮬레이터 (2D)

■ 시뮬레이터 조작 가이드

점 Q의 속도 함수 절댓값 $y = |2t - 7|$ 그래프입니다. 적분 구간 $a$ 와 $b$ 를 조정하여 기하학적 넓이(움직인 거리)가 어떻게 변하는지 관찰해 보세요.

  • $a=2, b=6$ 일 때 두 삼각형 영역의 넓이가 최종 정답과 일치하는지 확인합니다.
  • 슬라이더를 움직이면 하단 영역의 칠해진 넓이가 실시간으로 계산됩니다.
시작 시각 $a$ a = 0
종료 시각 $b$ b = 4
구간 [a, b] 에서 움직인 총 거리 (면적 합)
0.00
✨ 정답 도달! (17/2 = 8.5) ✨