절댓값 기호를 포함한 수열의 항등식과 부분분수를 이용한 수열의 합 기하학적 해석
11. 공차가 0이 아닌 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여
일 때, $\sum\limits_{k=1}^{15} a_k$ 의 값은? [4점]
이 문항은 등차수열의 일반항과 합의 성질을 대수적으로 완벽히 통제하는 능력을 평가합니다. 절댓값 방정식과 부분분수 분해를 활용하여 미지의 상수(첫째항과 공차)를 역추적하는 고도의 논리력을 요구합니다.
등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 하면 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$ 입니다. 문제에서 공차가 0이 아님 ($d \neq 0$)을 명시했습니다. 첫 번째 조건 $|a_6| = a_8$에 일반항을 대입합니다.
절댓값의 성질에 따라 두 가지 경우로 나눕니다.
두 번째 조건의 급수 식을 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$을 이용하여 변형합니다. 등차수열에서 이웃한 두 항의 차이 $a_{k+1} - a_k$는 항상 공차 $d$와 같습니다.
인접한 항들이 부호 반대로 묶여 연쇄적으로 상쇄되고 첫항과 마지막 항만 남습니다.
Step 1의 일반항 $a_n = (n-7)d$ 에 따라 $a_1 = -6d$, $a_6 = -d$를 대입합니다.
문제의 조건인 $\frac{5}{96}$과 일치시킵니다.
Step 1의 조건 $a + 5d < 0$ 에 $a = -6d$를 대입하면 $-d < 0 \implies d > 0$ 이므로 $d = 4$ 입니다. 즉 일반항은 $a_n = 4n - 28$ 입니다.
첫째항 $a_1 = -24$, 제15항 $a_{15} = 4(15) - 28 = 32$ 입니다. 등차수열의 합 공식을 적용합니다.
등차수열의 구조적 특징인 초항과 공차의 선형 결합 성질, 그리고 첫항과 끝항의 평균을 이용한 합산 원리를 교과 과정에 맞추어 활용합니다.
분모가 두 항의 곱인 유리식을 두 분수의 차로 변환하여, 수열 합산 시 중간 항들이 순차적으로 지워지는 대수적 성질을 문제 해결의 핵심 이론으로 사용합니다.
학생들이 가장 자주 실수하는 지점은 $d^2 = 16$ 을 풀 때 무비판적으로 $d = 4$ 를 선택하는 것입니다. 수학에서 임의의 가정은 반드시 검증을 동반해야 합니다.
절댓값 방정식 $|a+5d| = a+7d$ 를 풀기 위해 우리는 $a+5d < 0$ 이라는 '가정'을 세웠고, 그 결과 $a = -6d$ 라는 식을 얻었습니다. 이 얻어진 해가 최초의 가정에 모순되지 않는지 반드시 환류(Feedback)해야 합니다.
이 증명 과정을 거쳐야만 $d = \pm 4$ 중 $d = -4$ 를 버리고 $d = 4$ 만을 논리적 결함 없이 채택할 수 있습니다.
부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$은 다음과 같은 식의 변형을 통해 대수적으로 명확히 유도됩니다.
이 식 변형 과정(단, $A \neq B$)을 통해 곱으로 이루어진 복잡한 분모를 두 개의 분수 차이로 자연스럽게 분리할 수 있음을 확인할 수 있습니다.
수열 $a_n$의 값 변화와 누적합 $S_n$을 관찰합니다. 슬라이더를 움직여 각 항의 관계를 기하학적으로 확인하세요.